课时跟踪检测（10）数量积的坐标表示及其计算（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（十） 数量积的坐标表示及其计算 A级——综合提能 1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(－2,4)，则|a－b|＝(　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选D　由题意知a－b＝(2,1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D. 2．若向量a＝(1,1)，b＝(0，－1)，则a与b的夹角等于(　 ) A．－ B． C. D． 解析：选D　因为cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝，即a与b的夹角等于.故选D. 3．平面向量a＝(m,2)，b＝(m，m－4)，若|a|≠|b|，且a⊥b，则m＝(　 ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 解析：选D　∵a⊥b，a＝(m,2)，b＝(m，m－4)，∴a·b＝m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4.又∵|a|≠|b|，∴m＝－4.故选D. 4.(多选)已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角为的是(　 ) A．|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2 B．|a|＝|b|＝1，a2＋a·b＝ C．a＝(，－1)，b＝(2，2) D．a＝(2,2)，b＝(－3,0) 解析：选ABC　设向量a与b的夹角为α.对于A，∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝|a|·|b|cos α＝3.∴cos α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝，故A正确．对于B，∵a2＋a·b＝，|a|＝1，∴a·b＝|a|·|b|cos α＝.∴cos α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝，故B正确．对于C，由a＝(，－1)，b＝(2，2)，得|a|＝2，|b|＝4，a·b＝4.∴a·b＝|a|·|b|cos α＝4.∴cos α＝.∵α∈[0，π]，∴α＝，故C正确．对于D，由a＝(2,2)，b＝(－3,0)，得|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6.∴a·b＝|a|·|b|cos α＝－6.∴cos α＝－.∵α∈[0，π]，∴α＝，故D错误．故选A、B、C. 5．(多选)已知平面向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，则下列说法正确的是(　 ) A．|a＋b|＝16 B．(a＋b)·a＝2 C．cos〈a，b〉＝ D．向量a＋b在a上的投影向量为2a 解析：选BD　因为向量a＝(1,0)，b＝(1,2)，所以a＋b＝(1＋1,0＋2)＝(2,2)．所以|a＋b|＝＝4，A错误．a·(a＋b)＝1×2＋0×2＝2，B正确．由向量的夹角公式，可得cos〈a，b〉＝＝，C错误．向量a＋b在a上的投影向量为·＝×a＝2a，D正确．故选B、D. 6．已知点A(1,0)，B(－2,1)，向量e＝(0,1)，则在e方向上的投影长为________． 解析：由A(1,0)，B(－2,1)，可得＝(－3,1)，所以在e方向上的投影长为＝＝1. 答案：1 7．已知向量a＝(－2,3)，非零向量b满足a⊥b，则b＝________.(写一个向量坐标即可) 解析：设b＝(x，y)，则由a⊥b得a·b＝－2x＋3y＝0，取x＝3，则y＝2，b＝(3,2)． 答案：(3,2)(答案不唯一) 8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝CD＝1，∠BAD＝90°，点P在线段BC上运动． (1)当点P与点C重合时，·＝________. (2)·的最小值是________． 解析：(1)如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系，当点P与点C重合时，A(0,0)，P(1,1)，C(1,1)，B(2,0)， ＝(1,1)，＝(－1,1)，·＝1×(－1)＋1×1＝0. (2)由(1)可知，△ABC是等腰直角三角形，设P(2－y，y)，0≤y≤1，＝(2－y，y)，＝(－y，y)，·＝(2－y)·(－y)＋y2＝2y2－2y＝22－，当y＝时，·的最小值是－. 答案：(1)0　(2)－ 9．已知向量a＝(2,0)，b＝(1，)． (1)设k∈R，求|2a－kb|的最小值； (2)若向量ta＋b与向量a＋tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意得2a－kb＝2(2,0)－k(1，)＝(4－k，－k)， 所以|2a－kb|＝＝＝. 所以当k＝1时，|2a－kb|取得最小值为2. (2)因为ta＋b＝t(2,0)＋(1，)＝(2t＋1，)，a＋tb＝(2,0)＋t(1，)＝(2＋t，t)，向量ta＋b与向量a＋tb的夹角为钝角， 所以(ta＋b)·(a＋tb)<0，且向量ta＋b与向量a＋tb不能共线，即t≠±1. 所以(2t＋1)(2＋t)＋×t＝2t2＋8t＋2<0， 解得－2－<t<－2＋.故实数t的取值范围为(－2－，－1)∪(－1，－2＋)． 10．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，