课时跟踪检测(8) 向量的数量积（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（八） 向量的数量积 1．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．2 解析：选A　b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.故选A. 2．已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，则向量a与b的夹角为(　 ) A. B． C. D． 解析：选B　设向量a与b的夹角为θ，θ∈[0，π]，因为cos θ＝＝＝－，所以θ＝. 3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影长为(　 ) A．2 B． C．2 D．4 解析：选C　因为a在b的方向上的投影向量为|a|cos 30°×＝4××＝b，所以a在b的方向上的投影长为|b|＝2，故选C. 4．对于非零向量a与b，下列不等式恒成立的是(　 ) A．a·b≥|a|·|b| B．a·b≤|a|·|b| C．a·b>|a|·|b| D．a·b<|a|·|b| 解析：选B　设非零向量a与b的夹角为θ，则θ∈[0，π]，cos θ∈[－1,1]，则a·b＝|a|·|b|·cos θ≤|a|·|b|，故选B. 5．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝(　 ) A. B． C．－ D． 解析：选D　因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，则c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2，即4＋2|a||b|·cos〈a，b〉＋9＝16，从而12cos〈a，b〉＝3，解得cos〈a，b〉＝. 6．在四边形ABCD中，＝，且(＋)·(－)＝0，那么四边形ABCD为(　 ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 解析：选C　由＝，可得四边形ABCD是平行四边形．由(＋)·(－)＝0，得2－2＝0，即2＝2，所以||＝||.所以四边形ABCD为菱形．故选C. 7．已知|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为60°，则|3a－4b|＝(　 ) A．5 B．13 C．3 D． 解析：选D　|3a－4b|＝ ＝ ＝ ＝，故选D. 8．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　 ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：选D　∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c， ∴a·c＝0，b·c＝0， ∴c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0. 9．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，设m与n的夹角为θ，若cos θ＝，n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　 ) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：选B　由题意知，cos θ＝＝＝，所以m·n＝|n|2＝n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即t n2＋n2＝0，所以t＝－4. 10．“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若平面向量a，b平行，则向量a，b方向相同或相反，所以a·b＝|a||b|或a·b＝－|a||b|；若a·b＝|a||b|，则cosa，b＝1，即向量a，b方向相同，以及向量a，b平行．综上，“平面向量a，b平行”是“平面向量a，b满足a·b＝|a||b|”的必要不充分条件．故选B. 11．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________． 解析：由α⊥(α－2β)知，α·(α－2β)＝0，则2α·β＝1，所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10.故|2α＋β|＝. 答案： 12．已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2ab在a方向上的投影向量为________． 解析：因为a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，所以(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2.所以2a－b在a方向上的投影向量为·＝a. 答案：a 13．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上，且满足＝2，则·(＋)＝________. 解析：因为M是BC的中点，＝2，AM＝1，所以·(＋)＝·2＝·＝2＝2＝. 答案： 14．已知向量e1与e2是夹角为的单位向量，且向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2. (1)求|a|； (2)若a⊥(a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)由题意知，e1·e2＝1×1×cos＝. 因为a＝3e1＋4e2， 所以|a|＝＝ ＝＝. (2)因为向量a＝3e1＋4e2，b＝2e1＋λe2， 所以a·b＝(3e1＋4e2)·(2e1＋λe2)＝6e＋(3λ＋8)e1·e2＋4λe＝10＋λ. 因为a⊥(a＋b)，