课时跟踪检测(6) 向量分解及坐标表示（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（六） 向量分解及坐标表示 A级——综合提能 1．平面内任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列关于向量a，b的说法正确的是(　 ) A．向量a，b的方向相同 B．向量a，b中至少有一个是零向量 C．向量a，b的方向相反 D．当且仅当λ＝μ＝0时，λa＋μb＝0 解析：选D　因为任一向量m＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据平面向量的基本定理得，向量a，b不共线，故A、C不正确．因为a，b是一个基，所以不能为零向量，故B不正确．因为a，b不共线，且不能为零向量，所以若λa＋μb＝0，当且仅当λ＝μ＝0，故D正确．故选D. 2．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基的是(　 ) A．a＝0，b＝e1－e2 B．a＝3e1－3e2，b＝e1－e2 C．a＝e1－2e2，b＝e1＋2e2 D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2 解析：选C　对于A，零向量与任意向量均共线，所以这两个向量不可以作为基．对于B，因为a＝3e1－3e2，b＝e1－e2，所以a＝3b.所以这两个向量不可以作为基．对于C，设a＝λb，即e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，所以这两个向量不共线，可以作为一组基．对于D，因为a＝e1－2e2，b＝2e1－4e2，所以a＝b.所以这两个向量不可以作为基．故选C. 3．设{i，j}为一组标准正交基，已知＝2i－3j，＝3i＋j，＝6i－8j.若＝2a，则a在基{i，j}下的坐标为(　 ) A. B． C. D． 解析：选D　因为＝＋＋＝(2i－3j)＋(3i＋j)＋(6i－8j)＝11i－10j，又＝2a，所以a＝i－5j.因此a在基{i，j}下的坐标为. 4.(多选)在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是(　 ) A.＝2i＋3j B．＝3i＋4j C.＝－5i＋j D．＝5i－j 解析：选ACD　i，j互相垂直，故可取{i，j}作为一组基，由平面向量基本定理，知＝2i＋3j，＝－3i＋4j，＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故A、C、D正确． 5．设向量e1和e2是某一平面内所有向量的一组基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数y的值为(　 ) A．3 B．4 C．－ D．－ 解析：选B　因为3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0. 又因为e1和e2是某一平面内所有向量的一组基， 所以解得 6．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为________． 解析：设点A(x，y)，则x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，即A(－3，3)，所以＝(－3，3)． 答案：(－3，3) 7．设i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为______________． 解析：由已知a＝3i＋4j，b＝－i＋j，得a＋b＝(3i＋4j)＋(－i＋j)＝2i＋5j，a－b＝(3i＋4j)－(－i＋j)＝4i＋3j，又i＝(1,0)，j＝(0,1)，所以a＋b，a－b的坐标分别是(2,5)，(4,3)． 答案：(2,5)，(4,3) 8.如图，在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD的中点，若＝x＋y，则x＝________. 解析：因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以＝＋.又E为AD的中点，所以＝－＝－＝－＋.所以x＝－. 答案：－ 9．在梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且＝k(k≠1)．设＝e1，＝e2，选择基{e1，e2}，试写出下列向量在此基下的分解式：，，. 解：如图，由＝e2，且＝k，则＝k＝ke2. 又＋＋＋＝0，且＝e1， 则＝－－－＝－＋＋＝－e2＋ke2＋e1＝e1＋(k－1)e2. 因为＋＋＋＝0， 所以＝－－－＝＋－＝＋e2－＝[e1＋(k－1)e2]＋e2－e1＝e2. 10.已知边长为1的正方形ABCD中(如图所示)，与x轴正半轴成30°角，求与的坐标． 解：由题知平移正方形ABCD，使得点A与原点O重合， 平移后的正方形为OB1C1D1，此时B1，D1分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B1(x1，y1)，D1(x2，y2)， 由三角函数的定义， 得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝， 所以B1，所以＝＝， 同理：x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝， 所以D1，所以＝＝. B级——应用创新 11．若＝a，＝b，＝λ (λ≠