课时跟踪检测(5) 向量数乘的应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

课时跟踪检测（五） 向量数乘的应用 A级——综合提能 1．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　 ) A．a＝b B．a＝2b C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同 解析：选D　表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可，故选D. 2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　 ) A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝ 解析：选D　若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则存在实数λ，使m＝λn， ∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2. ∴解得k＝. 3.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小平行四边形拼成一个大平行四边形，如图，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点，若＝x＋y，则2x＋y等于(　 ) A. B． C．1 D．2 解析：选D　由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋，因为四边形EFGH是平行四边形，所以＝－.所以＝＋－.所以＝＋.因为＝x＋y，所以x＝，y＝.则2x＋y＝2×＋＝2. 4．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　 ) A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：选C　对于A，因为＝a＋5b，＝－2a＋8b，且≠，所以与不共线．所以A，B，C三点不共线，错误；对于B，因为＝＋＝a＋5b－2a＋8b＝－a＋13b，且≠，所以与不共线．所以A，C，D三点不共线，错误；对于C，因为＝＋＝－2a＋8b＋3a－3b＝a＋5b＝，所以A，B，D三点共线．正确；对于D，因为＝－2a＋8b，＝3(a－b)，且≠，所以与不共线．所以B，C，D三点不共线，错误． 5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，3＝＋λ，则λ＝(　 ) A．2 B．1 C．－2 D．－1 解析：选C　如图所示，因为＝2，所以D为线段AB的三等分点中靠近B的点． 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝－.所以3＝－2.所以λ＝－2. 6．在△ABC中，D为AC的中点，E为AB上一点，BD，CE交于一点F，且＝2，若＝λ，则实数λ的值为________． 解析：因为＝2，所以F为三角形的重心．所以E为AB的中点．所以＝.所以λ＝. 答案： 7．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 解析：∵＋＋＝0，∴＋＝－.又由＋＝m，得(＋)－2＝m，即－3＝m＝－m，∴m＝3. 答案：3 8．已知平面向量e1，e2不共线，且＝2e1＋ke2，＝3e1＋2ke2，＝e1＋e2，若A，B，D三点共线，则k＝________. 解析：依题意得，＝－＝e1＋e2－(3e1＋2ke2)＝－2e1＋(1－2k)e2， 由A，B，D三点共线可知，存在实数λ，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λ[－2e1＋(1－2k)e2]，由于e1，e2是两个不共线的向量，则 解得k＝1. 答案：1 9．已知向量m，n不是共线向量，a＝3m＋2n，b＝6m－4n，c＝m＋xn. (1)判断a，b是否共线； (2)若a∥c，求x的值． 解：(1)若a与b共线，由题知a为非零向量，则存在实数λ，使得b＝λa，即6m－4n＝λ(3m＋2n)， ∴得到λ＝2且λ＝－2. ∴λ不存在，即a与b不共线． (2)∵a∥c，∴存在实数r，使得c＝ra， 即m＋xn＝3rm＋2rn. 即解得x＝. 10.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，若＝a，＝b，试用a，b表示， ，. 解：如图所示，连接CN，则四边形ANCD是平行四边形． 则＝＝＝a， ＝－＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－－＝a－b. B级——应用创新 11．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于(　 ) A．a B．b C．c D．0 解析：选D　∵a＋b与c共线， ∴存在实数λ1，使得a＋b＝λ1c.① 又∵b＋c与a共线， ∴存在实数λ2，使得b＋c＝λ2a.② 由①得，b＝λ1c－a. ∴b＋c＝λ1c－a＋c＝(λ1＋1)c－a＝λ2a. ∴即 ∴a＋b＋c＝－c＋c＝0.故选D. 12．(多选)下列命题是真命题的是(　 ) A．若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B．若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D．若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 解析：选AD　A项为真命