课时跟踪检测(14) 三角函数图象与性质的综合（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（十四） 三角函数图象与性质的综合 A级——综合提能 1．函数f(x)＝cos的图象的一条对称轴方程为(　 ) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析：选B　函数f(x)＝cos，令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝，故选B. 2．若点(a,0)是函数y＝sin图象的一个对称中心，则a的值可以是(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选C　依题意可得a＋＝kπ，k∈Z，所以a＝kπ－，k∈Z.当k＝0时，a＝－. 3．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x－的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的最大值为(　 ) A．π B. C. D. 解析：选A　f(x)＝cos2x＋sin x－＝－sin2x＋sin x＋，令t＝sin x，则g(t)＝－t2＋t＋＝－2＋1，因为g(t)的值域为，根据二次函数的图象性质，可得t∈[0,1]，所以sin x∈[0,1]，且x∈[0，m]．因为t＝sin x，根据三角函数的图象性质，有≤m≤π，则实数m的最大值为π. 4．(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　把函数y＝cos的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－如图所示．观察图象知，共有3个交点．故选C. 5．若f(x)＝cos在区间[－a，a]上单调递增，则实数a的最大值为(　 ) A. B. C. D．π 解析：选A　易知将函数y＝cos x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝cos的图象，则函数f(x)＝cos的增区间为(k∈Z)，而函数又在[－a，a]上单调递增，所以⇒a≤，于是0＜a≤，即a的最大值为. 6．写出一个以x＝为对称轴的奇函数________． 解析：易知y＝sin ωx(ω≠0)是奇函数，ω＝kπ＋(k∈Z)，ω＝2kπ＋π(k∈Z)，取k＝0得ω＝π，从而函数式为y＝sin πx. 答案：y＝sin πx(答案不唯一) 7．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意实数x都有f＝f，则f＝________. 解析：由题意，函数f(x)对任意实数x都有f＝f，可得x＝是函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)的一条对称轴，根据三角函数的图象与性质，可得f＝±3. 答案：±3 8．设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立， ∴当x＝时，f(x)取得最大值．即f＝cos＝1.∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值. 答案： 9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，若f(x)的图象关于点对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π. (1)求f(x)； (2)求f(x)的单调递增区间． 解：(1)依题意T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．∵f(x)的图象关于点对称，∴2×＋φ＝kπ，k∈Z.得φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|≤，∴φ＝.∴f(x)＝sin. (2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 10．已知函数f(x)＝2sin(ω＜0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)单调递增区间； (2)若函数g(x)＝f(x)－m在上有零点，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝2sin(ω＜0)的最小正周期为π，所以T＝＝π.由于ω＜0，所以ω＝－2.所以f(x)＝2sin＝－2sin，所以要求函数f(x)的单调递增区间，只需求函数y＝2sin的单调递减区间，令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z. (2)因为函数g(x)＝f(x)－m在上有零点，所以函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在上有交点．因为x∈，2x－∈，故函数f(x)在区间上的值域为[－2,1]．所以当m∈[－2,1]时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝m在上有交点．所以当m∈[－2,1]时，函数g(x)＝f(x)－m在上有零点．故实数m的取值范围为[－2,1]． B级——应用创新 11．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上单调递增，且f＝f，则ω＝(　 ) A. B. C. D．1 解析：选C　当x∈时，ωx＋∈，∵f(x)在上单调递增，∴ω＋≤，解得ω≤1，即0＜ω≤1.∴＜ω＋≤，＜ω＋≤，则由f＝f得＋＝π，解得