课时跟踪检测(13) y=Asin(ωx+φ)的性质及应用（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

课时跟踪检测（十三） y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 A级——综合提能 1．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　 ) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：选D　∵T＝＝≤2，∴k≥4π.又k∈Z， ∴正整数k的最小值为13. 2．(2021·新课标Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　当函数f(x)＝7sin单调递增时，－＋2kπ＜x－＜＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.令k＝0，得－＜x＜.因为⊆，所以是函数f(x)＝7sin单调递增的区间．故选A. 3.函数f(x)＝sin在区间上的最小值是(　 ) A．－1 B．－ C. D．0 解析：选B　∵x∈，∴2x－∈. ∴sin∈.∴f(x)min＝－. 4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则f等于(　 ) A．3或0 B．－3或0 C．0 D．－3或3 解析：选D　由f＝f得，直线x＝是函数图象的对称轴，所以f＝±3. 5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且f(x)的图象关于点对称，则f＝(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选A　由题意得，函数f(x)的最小正周期为×2＝π，所以＝π，得ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)． 因为f(x)的图象关于点对称， 所以sin＝0. 所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，故φ＝kπ－，k∈Z. 又|φ|≤，所以φ＝－.所以f(x)＝sin. 所以f＝sin＝sin＝. 6．若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝________. 解析：由题意，可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，故当k＝0时，φ＝. 答案： 7．函数f(x)＝sin(ω≠0)，则f(x)的奇偶性是________，若f(x)的周期为π，则ω＝________. 解析：∵f(x)＝sin＝－cos ωx， ∴f(－x)＝－cos(－ωx)＝－cos ωx＝f(x)． ∴f(x)为偶函数．又T＝π， ∴＝π，即ω＝±2. 答案：偶函数　±2 8．已知函数y＝f(x)的表达式f(x)＝Asin(2x＋φ)－，y＝f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称，若存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立，则实数m的取值范围为__________________． 解析：由y＝f(x)的图象在y轴上的截距为1，得f(x)＝Asin φ－＝1⇒Asin φ＝. 由y＝f(x)的图象关于直线x＝对称， 得2×＋φ＝kπ＋，k∈Z. 又0<φ<，∴φ＝. ∴Asin＝⇒A＝. ∴f(x)＝sin－. 当x∈时，2x＋∈， 故当2x＋＝，即x＝时， f(x)min＝－2， 故存在x∈，使m2－3m≥f(x)成立等价于m2－3m≥－2，解得m≤1或m≥2. 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 9．已知函数f(x)＝2sin，x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值． 解：(1)由2x－＝kπ＋(k∈Z)， 得x＝＋(k∈Z)． 所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． 所以函数f(x)的对称中心为，k∈Z. (2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤. 所以当2x－＝－， 即x＝0时，f(x)取得最小值－1； 当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值2. 10．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上具有单调性，求φ和ω的值． 解：由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)， 即函数f(x)的图象关于y轴对称． ∴f(x)在x＝0时取得最值， 即sin φ＝1或sin φ＝－1. ∵0≤φ<π，∴φ＝. 由f(x)的图象关于点M对称， 可知sin＝0， 即ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－，k∈Z. 又f(x)在上具有单调性， ∴T≥π，即≥π.∴ω≤2.又ω>0， ∴当k＝1时，ω＝； 当k＝2时，ω＝2. 故φ＝，ω＝2或ω＝. B级——应用创新 11．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，现有如下四个命题： 甲：该函数的最小值为－； 乙：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π； 丙：该函数的一个零点为； 丁：该函数图象可以由y＝sin的图象平移得到． 如果有且只有一个假命题，那么下列说法正确的是(　 ) A．乙一定是假命题 B．φ的值可唯一确定 C．函数f(x)图象的一条对称轴为x＝ D．函数f(x)的图象可以由y＝cos的图象伸缩变换得