专题1-3两条直线的位置关系（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵）-2023-2024学年高二数学下学期期中考点大串讲（沪教版2020选修）

专题1-3两条直线的位置关系（考点清单，6种题型典例剖析+考场练兵） 知识点一．两直线平行 1．特殊情况下的两条直线平行的判定 两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定 两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即． 证明如下： 设两条直线的斜率分别为． 如果（如图），那么它们的倾斜角相等，即． ∴，∴． 反过来，如果两条直线的斜率相等，即，那么． 由于，∴．又两条直线不重合，∴． 知识点二．两直线垂直 1．特殊情况下的两条直线垂直的判定 当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直． 2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即． 证明如下： 设两条直线与的倾斜角分别为与． 如果，这时．否则，则，与相矛盾． 设（如下图）， 图（1）的特征是与的交点在x轴上方； 图（2）的特征是与的交点在x轴下方； 图（3）的特征是与的交点在x轴上，无论哪种情况下都有． ∵，的斜率分别是，且，∴． ∴． ∴，即． 反过来，若，即． 不失一般性，设，则，即， ∴． 知识点三、两直线位置关系的判定方法 1.已知两直线的斜率存在 两直线平行、两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直、两直线的斜率之积为-1. 2.已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行;否则两直线重合 知识点四、两直线的夹角与垂直关系 两条相交直线的夹角：我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，我们规定它们的夹角为0. 平面上两条直线夹角的范围：. 两条直线：（其中不同时为零；不同时为零）的夹角为：. 两条直线：的夹角为：， . 注：公式应用前提是两直线的斜率均存在. 两条直线垂直的充要条件： 题型一：两条直线相交、平行与重合的判定 一、单选题 1．（2023上·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）若中，a，b，c分别为三内角A，B，C的对边，且，则直线与直线（   ） A．平行 B．重合 C．相交且垂直 D．相交且不垂直 2．（2023上·上海·高二华师大二附中校考期末）若直线与直线平行，则（    ） A． B．0 C．1 D．1或 3．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）“”是“直线与直线平行”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 二、填空题 4．（2023上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知集合、，若，则 ． 5．（2023上·上海宝山·高二上海交大附中校考阶段练习）已知直线与直线平行，则实数 . 6．（2023上·上海·高二曹杨二中校考阶段练习）过点且与直线平行的直线的方程为 . 7．（2024上·上海·高二上海交大附中校考期末）已知直线：与：，若，则实数的值为 ． 三、解答题 8．（2023上·高二课时练习）求证：在直角坐标平面内，如果两条直线平行，那么它们的倾斜角相等． 9．（2023上·高二课时练习）已知直线，，分别求的取值范围，使得： (1)与相交； (2)； (3)与重合. 10．（2024·全国·高二专题练习）已知经过，经过，，求证：． 题型二：两条直线位置关系的应用 11．（2023上·福建莆田·高二莆田一中校考期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 12．（2024上·上海·高二假期作业）若三条直线不能围成三角形，求实数的值． 13．（2023下·上海宝山·高二统考期末）已知直线，. (1)若，求实数的值； (2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 14．（2023上·高二课时练习）是否存在实数，使直线与直线平行？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 题型三：两条直线垂直的判定 15．（2023上·高二课时练习）已知直线与垂直，求实数的值. 16．（2023上·高二课时练习）设直线、的倾斜角分别为、，求证：的充要条件是． 题型四：两条直线垂直的应用 17．（2023上·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知的顶点，线段的中点为，且. (1)求的值； (2)求边上的中线所在直线的方程. 18．（2022上·上海宝山·高二校考期中）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点. (1)若直线与法向量平行，写