6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课题名称 平面向量数量积的坐标表示 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算． 2．能利用坐标求向量的模、夹角及两个向量垂直的条件，并能应用它们解决相关问题． 重点难点 重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 难点：运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题. 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 1、 平面向量数量积的坐标表示 知识梳理　 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 (2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 反思感悟　进行向量数量积的坐标运算的注意点 (1)要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a|2＝a·a； ②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2； ③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2. (2)在解决平面几何中的数量积的运算时，对于规则的图形，一定要先建立恰当的平面直角坐标系，用向量的坐标法解决平面几何中的数量积的问题． 跟踪训练1　已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________. 二、平面向量的模 知识梳理　 1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝. 2．如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. 例2　设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A. B. C. D. 反思感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A. B. C．5 D．25 三、平面向量的夹角、垂直问题 知识梳理　 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角． (1)cos θ＝＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 注意点： (1)两向量垂直与两向量平行的坐标表示易混淆． (2)两向量夹角的余弦值大于0的夹角不一定是锐角，同样余弦值小于0的夹角也不一定是钝角． 例3　已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 反思感悟　解决向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意当cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；当cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 跟踪训练3　(1) 设P(－3，－2)，Q(x,2)，则与的夹角为钝角时，x的取值范围为________________． (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 1．知识清单： (1)平面向量数量积的坐标表示． (2)平面向量的模． (3)平面向量的夹角、垂直问题． 2．方法归纳：转化与化归． 3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错． 学科网（北京）股份有限公司 $$