6.2.1向量的加法运算教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课题名称 向量的加法运算 课时计划: 课时 第 课时 授课日期: 教学目标 1.理解并掌握向量加法的概念及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性. 重点难点 重点:向量的加法法则及向量的加法运算. 难点:向量加法的几何意义. 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 一、向量加法的三角形法则 问题1 某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示? 提示 这个质点两次位移,的结果,与从点A直接到点C的位移的结果相同,因此位移可以看成是位移与合成的,即可以算作是与的和. 知识梳理 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. 注意点: 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接,再首尾连”. 例1 如图所示, (1)a+b=_;(2)c+d=_;(3)a+b+d=_;(4)c+d+e=_. 反思感悟 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接,其和为由第一个向量的起点到最后一个向量的终点,即++…+=. 跟踪训练1 点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,则++等于( ) A. B. C. D.0 二、向量加法的平行四边形法则 知识梳理 1.以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作 OACB,则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=a. 注意点: 运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同. 例2 (1)如图①所示,求作向量a+b;(2)如图②所示,求作向量a+b+c. 反思感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 联系 三角形 法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形 法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 跟踪训练2 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量. (1)+=_;(2)+=_;(3)+=_. 三、共线向量的加法与向量加法的运算律 问题3 请结合课本第8页例1,探索一下|a+b|与|a|,|b|之间的关系? 提示 (1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b方向不同,且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|. 问题4 我们知道实数的加法满足交换律与结合律,向量的加法是否也满足交换律和结合律呢?你能证明自己的猜想吗? 提示 作=a,=b,以AB,AD为邻边作 ABCD,容易发现=b,=a,故=+=a+b.又=+=b+a,所以a+b=b+a.所以满足交换律. 借助下图,不难证明满足结合律. 知识梳理 1.一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时等号成立. 2.(加法交换律)a+b=b+a;(加法结合律)(a+b)+c=a+(b+c). 例3 化简: (1)+; (2)++; (3)++++. 反思感悟 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则:通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 跟踪训练3 已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|=_. 四、向量加法的实际应用 例4 河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船在静水中的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,求小船的实际航行速度. 延伸探究 在静水中船的速度为20 m/min,水流的速度为10 m/min,如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸,求船行进的方向. 反思感悟 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关