6.2.4向量的数量积（一）教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课题名称 向量的数量积（一） 课时计划： 课时 第 课时 授课日期： 教学目标 1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2．通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3．理解向量数量积的运算律，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，并会表示向量的夹角与模． 重点难点 重点：平面向量的数量积． 难点：投影向量的概念. 教学方法 教师讲授、师生互动、学生主导 科组模式 板书设计 作业布置 课后反思 教 学 设 计 教学环节 教师活动(可附带学生活动) 一、两向量的夹角 例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 跟踪训练1　在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 二、两向量的数量积 知识梳理 1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当a∥b时，a·b＝ 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|. (5)cos θ＝. 注意点： (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写． (2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0. (3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量． (4)|a|＝是求向量的长度的工具． (5)区分0·a＝0与0·a＝0． (6)a·b>0是a与b夹角为锐角的必要不充分条件； a·b<0是a与b夹角为钝角的必要不充分条件． 例2　已知正△ABC的边长为1，求：(1)·；(2)·；(3)·. 跟踪训练2　(1)在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，则·＝________，·＝______，·＝________. (2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________． 三、投影向量 知识梳理　 1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe. 注意点： (1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量． (2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性． (3)由定义可知，投影是一个过程，而投影向量是一个结果． 例3　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b；(2)求a在b上的投影向量． 跟踪训练3　已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________． 1．知识清单： (1)向量的夹角． (2)向量数量积的定义． (3)投影向量． (4)向量数量积的性质． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区： 向量夹角共起点； a·b>0⇏两向量夹角为锐角， a·b<0⇏两向量夹角为钝角． 学科网（北京）股份有限公司 $$