第04讲 角平分线（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第04讲 角平分线 （重难点突破） 【知识点一、角的平分线的性质】 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 说明：用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 【知识点二、角的平分线的判定】 　角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 说明：用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 【知识点三、角的平分线的尺规作图】 角平分线的尺规作图 （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 【知识点四、三角形角平分线的性质】 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等. 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等. 题型一 角平分线性质定理及证明 1．如图，、、分别是，，的角平分线，则下列选项成立的（    ） A． B． C． D．以上情况都有可能 【变式训练1-1】、如图，已知，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ） A．边的高上 B．的平分线上 C．的平分线上 D．边的中线上 【变式训练1-2】、如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）． A． B． C． D． 题型二 角平分线的性质定理 2．如图，A、B、C分别为某经济开发区中的三地，每两地之间都修建了一条笔直的公路，现在要在A、B、C三地之间建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应建在（    ）． A．AC、BC两边高线的交点处 B．两内角平分线的交点处 C．AC、BC两边中线的交点处 D．AC、BC两边垂直平分线的交点处 【变式训练2-1】、如图，在中，平分，，垂足为点．若的面积为16，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练2-2】、如图，在中，，是的平分线，于点E．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型三 角平分线的判定定理 3、将两把宽度相同的长方形直尺按如图所示方式摆放，两把直尺的接触点记为点P，其中一把直尺边缘和射线重合，另一把直尺的下边缘与射线重合，连结并延长．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】、小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，把其中一把直尺的一边与射线重合，另一把直尺的一边与射线重合，且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（     ） A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【变式训练3-2】、如图，点D在上，若于点E，于点F，则对于和的大小关系，下列说法正确的是（   ） A．一定相等 B．一定不相等 C．当时相等 D．当时相等 题型四 角平分线性质的实际应用 4．如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　） A．四处 B．三处 C．两处 D．一处 【变式训练4-1】、如图，兔子的三个洞口构成，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　）． A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【变式训练4-2】、如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为（    ） A．1300m B．800m C．500m D．300m 题型五 用HL证全等 5．如图，在中，，．借助尺规在边上求作点，使得与的长度比等于（即），则下列尺规作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】、某旅游景区内有一块三角形绿地（），现要在绿地内建一个休息点O，使它到三边的距离相等，下列作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】、某国际帆船中心外形形状是一个三角形，要在它的内部修建一处公共服务设施（用点P