第03讲 线段的垂直平分线 （重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学下册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第03讲 线段的垂直平分线 （重难点突破） 【知识点一、线段的垂直平分线】 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 2.线段垂直平分线的做法 求作线段AB的垂直平分线. 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 说明：(1)作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线. 【知识点二、线段的垂直平分线】 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 【知识点三、线段的垂直平分线逆定理】 线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 说明：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合． 【知识点四、三角形的外心】 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 说明：1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心. 2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3.外心到三顶点的距离相等. 【知识点五、尺规作图】 作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”. 题型一 线段垂直平分线的性质 1、如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线，交于点M，连接，若，周长为11，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练1-1】、如图，在中，是的垂直平分线．若的周长为9，，则的周长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式训练1-2】、如图，中，的垂直平分线交于D，如果，，那么的周长是（   ） A． B． C． D． 题型二 线段垂直平分线的判定 2、纸片上有一点P，量得，则点P一定是（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式训练2-1】、如图，，，则正确的结论是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确 【变式训练2-2】、如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 题型三 线段垂直平分线的实际应用 3、如图，直线、、表示三条相互交叉的公路，交叉口分别为、、，形成一个，现要在三条公路形成的三角区域内建一座加油站，要求到、、三个交叉口的距离相等，则加油站应建在（    ） A．的三条高的交点处 B．的三条角平分线的交点处 C．的三条中线的交点处 D．的三条边的垂直平分线的交点处 【变式训练3-1】、某景区有一块锐角三角形的草坪，、、是三个商店，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到三个商店的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式训练3-2】、如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 题型四 作垂线 4、已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（    ） A．B．C．D． 【变式训练4-1】、如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若的周长为15，，则的长为（    ） A．4 B．8 C．9 D．10 【变式训练4-2】、如图，已知线段，作等腰，使，且，边上的高．张红的作法如下： （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连结，，则为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（