专题01二次根式（优质类型）-2023-2024学年八年级数学下册考点解惑《基础•中等•优质》题型过关专练（人教版）

专题01二次根式 【专题过关】 类型一、复合二次根式化简——完全平方 【解惑】阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【融会贯通】 1．先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 2．阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数m和n，使且，则 可 变为，即变成，从而使得． （其中a，b，m，n均为正整数） 例如：∵， ∴ ． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简； (2)化简； (3)若，求a的值． 3．阅读材料： 小李同学在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小李同学进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有．∴，． 这样小李同学就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小李同学的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：______，______； (2)若且a、m、n均为正整数，求a的值． (3)化简：． 4．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 5．先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简 经过思考，小张解决这个问题的过程如下： ① ② ③ ④ 在上述化简过程中，第________步出现了错误，化简的正确结果为________； （2）化简； （3）请根据你从上述材料中得到的启发，化简：． 类型二、复合二次根式化简——平方差 【解惑】小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【融会贯通】 1．已知m,n是两个连续的正整数，，，求证：是定值且为奇数． 2．观察下面的解法：为求的值，可设， 显然则． 仿照上面的解法，求的值． 3．观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 4．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的康康进行了以下探索： 设（其中、、m、n均为正整数）， 则有（有理数和无理数分别对应相等）， ∴，，这样康康就找到了一种把式子化为平方式的方法． 请你仿照康康的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若，用含、的式子分别表示a、b，得：________，________； (2)若，且、均为正整数，试化简：； (3)化简：． 5．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 类型三、二次根式中的规律 【解惑】先观察下列等式．再回答问题： ①， ②， ③， (1)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ． (2) ． 【融会贯通】 1.（1）判断正误：（正确的在题后的括号内画“√”，错误的画“×”） ；（    ）    ；（    ） ；（    ）    ．（    ） （2）观察上述各式结构，你发现什么规律？请用含字母n（n为不小于2的自然数）的表达式表示这个规律． 2．先观察下列等式．再回答问题： ①， ②， ③， （1）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式： ． （2） ． 3．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． 4．观察下列各式： 第1个算式：； 第2个算式：； 第3个算式：； …… 请利用你所发现的规律，解决下列问题： (1)第5个算式为__________． (2)第n个算式为___________．（请用含n的式子表示） (3)求的值． 5．小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特