5.5　第1课时　利用二次函数解决实际问题中的最值问题2 导学案 2023—2024学年苏科版数学九年级下册

§6.4 二次函数的运用（2）（最大面积问题） 学习目标: 1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。 2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。 学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积。 学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积． 学习过程: 一、课前热身： 1、写出正方体的表面积y与棱长x之间的函数关系式。 2、一个圆柱的高等于它的底面半径r，写出圆柱的表面积s与半径r之间的函数关系式。 3、已知一个矩形的周长为12 m，设一边长为x m，面积为y ㎡，写出y与x之间的函数关系式。 二、新知探究： 在动态的几何图形中，线段长与线段长之间，或面积与线段长之间，或线段长与运动时间之间，或面积与运动时间之间存在一定的函数关系，而其中许多又是二次函数关系． 【要点梳理】 例1．已知一个矩形的周长是12cm．�矩形面积是S cm �，一边长是x cm ，当x多少厘米时，S最大，最大值为多少？ 例2．一块三角形废料如图所示，∠C＝90º，∠A＝30º，AB=12．用这块废料剪出一个长方形 CDEF，其中点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？ 例3．如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设s时，三角形与正方形重合部分的面积为m2． (1)写出与的函数解析式； （2）当时，分别是多少？　 （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 例4．如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动． （1）求P点从A点运动到D点所需的时间； （2）设P点运动时间为t（秒）． ①当t＝5时，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）． 练习:1．用长为l2 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C=∠D=∠E．设CD=DE=xm，五边形ABCDE的面积为S m2．问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值． 2．如图，在△ABC中， ∠B＝90º，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点A出发沿AB、BC方向以每秒3cm的速度移动（移动到点C即停），动点Q从点B出发沿BC、CA方向以每秒4cm的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围． 【课后盘点】 1． A中学准备利用一面墙，另三边用竹篱笆围成一个面积为y（m2）的长方形花坛，�竹篱笆的长为36m，墙长为20m，则当花坛的长和宽分别为多少时，�才能使竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最大面积为多少？ 2． 如图，一块草坪是一长100米，宽80米的矩形，现欲在中间修两条互相垂直的宽为x米的小路，这时草坪的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 3．如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动． （1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状． ( A D C B M N ) 4．如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x．已知AB=6，CD=3，AD=4．求四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和x的取值范围． 5．如图所示，在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=2，P是AC上与A、C不重合的一个动点，过P、B、C的⊙O交AB于D．设PA=x，PC2+PD2=y，求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围． 6．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形? （2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由； （3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．