5.1 相交线 讲义 2023—2024学年人教版数学七年级下册

5.1 相交线 知识点1：相交线 1. 相交线的定义 在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线，公共点称为两条直线的交点.如图1所示，直线AB与直线CD相交于点O. 图1 图2 图3 2. 对顶角的定义 若一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角叫做对顶角． 如图2所示，∠1与∠3、∠2与∠4都是对顶角． 3. 对顶角的性质：对顶角相等． 4. 邻补角的定义 如果把一个角的一边反向延长，这条反向延长线与这个角的另一边构成一个角，此时就说这两个角互为邻补角．如图3所示，∠1与∠2互为邻补角，由平角定义可知∠1＋∠2＝180°． 知识点2：垂线 1．垂线的定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如下图，两条直线互相垂直，记作或AB⊥CD垂足为点O. 注意：垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即： CD⊥AB． 2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)． 3．垂线的性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 4．点到直线的距离： 定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离． 图4 如图4所示，m的垂线段PB的长度叫做点P 到直线m的距离． 知识点3：三线八角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图5所示． （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角．图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8． （2）内错角：可以发现∠3与∠5处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角．图中的内错角还有∠4与∠6． （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角．图中的同旁内角还有∠3与∠6． 图5 一、选择题 1．下列选项中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离是（　　） A． B． C． D． 3．如图，和是内错角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，要把河中的水引到村庄A，小凡先作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开挖水渠，就能使所开挖的水渠最短，其依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 5．如图，下列各角与∠B不属于同旁内角的是（　　） A．∠BAE B．∠BAD C．∠C D．∠BAC 6．如图，O是直线AB上一点 ，若，则为（　　） A． B． C． D．或 7．如图所示，以下说法错误的是（　　） A．与是同位角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 8．如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，要把池中的水引到处，可过点作于，然后沿开渠，可使所开水渠长度最短，如此设计的数学原理是　 　． 10．若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则　 　． 11．如图，直线、被直线所截，交点分别为M、N，则的同位角是　 　. 12．如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为　 　． 13．用吸管吸易拉罐内的饮料时，如图所示，∠1＝108°，则∠2＝　 　． 三、解答题 14．如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路程最短，请画出行走路径，并说明理由． 15．如图，找出标注角中的同位角．内错角和同旁内角． 16．如图，直线AB与CD相交于点E，∠AEC=60°，∠BEF=95°，求∠CEF的度数. 17．如图，AB，CD交于点O，OA⊥OE，OF平分∠BOC，∠COF＝68°．求∠DOE的度数． 参考答案 1．D 2．A 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．垂线段最短 10．145 11．∠CNF 12． 13．72° 14．解：如图