5.5.1两角和的正弦余弦正切公式讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.1 三角恒等变换 ——第一课时 两角和差的正弦、余弦和正切公式 要求一：熟背两角和差的正弦，余弦和正切公式以及变形 要求二：掌握给值求角，给角求值的问题 要求三：掌握辅助角公式 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 知识拓展 常用变形： (1)2α=（α－β）+(α＋β) (2)sin（）=cos（）【互余】 (3) sin（）=sin（），cos（）=-cos（）【互补】 (4)tanα±tanβ= tan(α±β){1tan αtanβ} 课前小测 1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A．－ B. C．－ D. 2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ . 3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . 7．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ . 题型一 给角求值 1．(2022·北京模拟)tan 105°等于(　　) A．2－ B．－2－ C.－2 D．－ 2.等于(　　) A．1 B. C. D. 3．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　) A．cos(－15°)＝ B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0 C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝ D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝ 题型二 给值求值 1 直接利用公式做题方法： 1. 根据给定三角函数的角的范围，确定对应的正弦余弦值的正负 2. 遇到 sina+cosa，sina+cosb，等式子，一般运用完全平方公式进行运算 3. 遇到tanA+tanB，tanA-tanB，一般的变形为tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB），其中tan（A+B）一般为已知值 1.已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 2．已知点P(x，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos等于(　　) A．－ B. C. D. 3.(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) 4.tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于(　　) A．45° B．135° C．150° D．30° 5.(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ . 6.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 7.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ . 2 角的变换做题方法： 1. 找出已知角与要求角之间的等量关系，用已知角代表未知角，例如第一题，, 2. 等式两边同时取题目要求的三角函数 ，先用诱导公式，再用两角和差公式 3. 求已知角的三角函数记得看范围. 1.　已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为(　　) A. B. C. D. 2.(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ . 3.在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. 4.(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α