2024年中考数学二轮复习课件：与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题 类型一圆中最长弦——直径最值问题 模型解读：如图，☉O中最长的弦是直径AB. 解：如图，连接OA，OB.∵ ∠ACB＝45°，∴ ∠AOB＝2∠ACB＝90°. ∵ OA＝OB，∴ △OAB为等腰直角三角形.∴ ∠OBA＝45°.∴ 在Rt△OAB中，OA＝AB·sin∠OBA＝2×＝2.∵ M，N分别是AB，BC的中点，∴ MN＝AC.当AC为直径时，AC长的值最大，即MN长的值最大，此时AC＝2OA＝4，∴ MN长的最大值为2. 典例1 如图，AB是☉O的弦，AB＝2，C是☉O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若M，N分别是AB，BC的中点，求MN长的最大值. 典例1图答案 典例2 如图，长为3的弦CD在以AB为直径的☉O上滑动（点C，D不与点A，B重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若AB＝8，求PM长的最大值. 解：如图，延长CP交☉O于点K，连接DK.∵ CP⊥AB，AB是☉O的直径，∴ PC＝PK.∵ M是CD的中点，∴ CM＝MD.∴ PM是△CDK的中位线.∴ PM＝DK.当DK经过圆心O时，DK长的值最大，最大值为8，此时PM长的最大值为DK＝4. 典例2图答案 类型二点圆最值问题 模型解读：如图①，当点P在☉O外时，PA最短，PB最长；如图②，当点P在☉O内的OA上时，PA最短，PB最长. 　　　 典例3 如图，圆与坐标轴分别交于点O（0，0），A（6，0），B（0，2），P是圆上的一个动点，点C的坐标为（0，－3），则PC长的最小值为（　D　） D A. 4－ B. 8－ C. 2－ D. 5－ 典例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，求AP长的最小值. 解：如图，取BC的中点E，连接AE，交半圆于点P'，连接EP.∵ AP＋EP≥AE，EP＝EP'，∴ AP'的长是AP长的最小值.∵ ∠ACB＝90°，AC＝2，CE＝BC＝1，∴ 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE＝＝＝.∵ EP'＝CE＝1，∴ AP'＝AE－EP'＝－1.∴ AP长的最小值为－1. 典例4图答案 典例5 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E，F分别为边AD，DC上的点，且EF＝2，G为EF的中点.若P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为多少？ 解：如图，连接DG.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ADC＝∠BAD＝90°.∵ 在Rt△EDF中，EF＝2，G为EF的中点，∴ DG＝EF＝1.∴ G是以点D为圆心，1为半径的圆上的点.作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，A'P，A'G.∴ PA＝A'P，AB＝A'B.由图，可知A'P＋PG≥A'G，∴ 当A'，P，G，D四点共线时，PA＋PG的值最小，最小值为A'G的长.∵ AB＝2，AD＝3，∴ AA'＝2AB＝4.在Rt△AA'D中，由勾股定理，得A'D＝＝＝5.∴ A'G＝A'D－DG＝5－1＝4.∴ PA＋PG的最小值为4. 典例5图答案 9 类型三线圆最值问题 模型解读：AB为☉O的一条定弦，C为圆上一动点. 1. 如图①，若点C在优弧AB上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 2. 如图②，若点C在劣弧AB上，当CH⊥AB且直线CH过圆心O时，线段CH的长即为点C到弦AB的最大距离，此时△ABC的面积最大. 典例6 如图，P为☉O内的一个定点，A为☉O上的一个动点，射线AP，AO分别与☉O交于点B，C.若OP＝，则弦BC长的最大值为 　2　⁠. 2　 典例7 如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，D是△ABC所在平面内的一个动点，且∠BDC＝60°，求△DBC面积的最大值. 解：如图，过点A作AH⊥BC于点H.∵ AB＝AC＝2，BC＝2，∴ BH＝BC＝.∵ AH⊥BC，∴ 在Rt△ABH中，由勾股定理，得AH＝＝＝1.∴ sin∠ABC＝＝.∴ ∠ABC＝30°.∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB＝30°.∴ ∠BAC＝120°.∵ ∠BAC＝120°，∠BDC＝60°，∴ 点D在以点A为圆心、AB的长为半径的☉A上运动.延长HA交☉A于点D'，连接BD'，CD'，当点D运动到点D'的位置时，△DBC的面积有最大值.∵ D'A＝AB＝2，∴ D'H＝D'A＋AH＝2＋1＝3.∴ △DBC面积的最大值为BC·D'H＝×2×3＝3. 典例7图答案 强化练习 1. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，连接PQ，则线段PQ长的最小值为（　B　） A. 4.75 B. 4.8 C. 5