2024年中考数学二轮复习课件：一线三等角模型

一线三等角模型 模型解读： 类　型 同侧型一线三等角 异侧型一线三等角 图　形 锐角一线三等角 锐角一线三等角 钝角一线三等角 钝角一线三等角 直角一线三等角 直角一线三等角 类　型 同侧型一线三等角 异侧型一线三等角 特　点 点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3 点P在线段BA的延长线上，∠1＝∠2＝∠3 结　论 1. △CAP∽△PBD；2. 当AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD时，△CAP≌△PBD （1） 请你独立完成这道题. 解：（1） ∵ BE⊥CE，AD⊥CE，∴ ∠BEC＝∠CDA＝90°.∴ ∠DCA＋∠DAC＝90°.∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠DCA＋∠ECB＝90°.∴ ∠DAC＝∠ECB.又∵ AC＝CB， ∴ △ADC≌△CEB.∴ AD＝CE，CD＝BE. ∵ CD＝CE－DE，∴ BE＝AD－DE＝2.5－1.7＝0.8（cm）. 类型一直接利用模型解题 典例1 张老师让同学们独立完成一道题：如图①，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE，垂足分别为E，D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2） 同学们完成这道题后，张老师又展示了一道题：在原题其他条件不变的前提下，将CE所在直线绕点C旋转到△ABC的外部（如图②）请你猜想AD，DE，BE之间的数量关系，并证明. 解：（2） DE＝AD＋BE.∵ BE⊥CE，AD⊥CE，∴ ∠BEC＝∠ADC＝90°.∴ ∠CBE＋∠BCE＝90°.∵ ∠ACB＝90°， ∴ ∠BCE＋∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.∴ ∠CBE＝∠ACD. 在△CEB和△ADC中， ∴ △CEB≌△ADC.∴ BE＝CD，CE＝AD. ∴ DE＝CE＋CD＝AD＋BE. 典例2 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动，点E在AC上运动，∠ADE＝45°. 典例2图 （1） 求证：△ABD∽△DCE； 解：（1） ∵ ∠BAC＝90°，AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝45°. ∴ ∠BAD＋∠ADB＝180°－∠B＝135°. ∵ ∠ADE＝45°， ∴ ∠ADB＋∠CDE＝180°－∠ADE＝135°.∴ ∠BAD＝∠CDE. ∴ △ABD∽△DCE. （2） 分三种情况：① 当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝45°， ∴ ∠DAE＝90°.此时点D，E分别与点B，C重合.∴ AE＝AC＝2.② 当AD＝DE时，∵ △ABD∽△DCE，∴ 易得△ABD≌△DCE.∴ AB＝DC＝2，BD＝CE.在Rt△ABC中，BC＝＝2，∴ BD＝BC－DC＝2－2.∴ CE＝2－2.∴ AE＝AC－CE＝4－2.③ 当AE＝DE时，∠EAD＝∠ADE＝45°，∴ ∠AED＝90°.∴ DE⊥AC.∵ ∠CAD＝∠C＝45°，∴ AD＝CD.∴ AE＝AC＝1.综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE的长为2或4－2或1. （2） 当△ADE是等腰三角形时，求AE的长. 典例2图 类型二构造模型解题 典例3 如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，点P的坐标为（0，2），点N的坐标为（2，－2），则点M的坐标为（　D　） D A. （－2，0） B. （－2，0） C. （－2，0） D. （－4，0） 典例4 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，AD＝5，连接BD，求BD的长. 解：如图，过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，连接AC，则∠M＝90°.∴ ∠DCM＋∠CDM＝90°.∵ ∠ABC＝90°，∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝＝5.∵ CD＝10，AD＝5，∴ AC2＋CD2＝AD2.∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.∴ ∠ACB＋∠DCM＝180°－∠ACD＝90°.∴ ∠ACB＝∠CDM.又∵ ∠ABC＝∠M＝90°，∴ △ABC∽△CMD.∴ ＝＝＝.∴ CM＝2AB＝6，MD＝2BC＝8.∴ BM＝BC＋CM＝10.∴ 在Rt△BDM中，由勾股定理，得BD＝＝＝2. 典例4图答案 典例5 如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一点，且CE＝1，F是AD的中点，对角线AC交BE于点N，P是线段BE上一点，连接EF，PF，PF与AC相交于点G.若∠PFE＝45°，求AG的长. 解：如图，延长AD至点M，连接EM，使∠M＝45°. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°.∴ DE＝CD－CE＝3.∵ F为AD的中点，∴ AF＝DF＝AD＝2.