2024年中考数学二轮复习课件：一次函数与反比例函数中的面积问题

一次函数与反比例函数中的面积问题 类型一求有一边与坐标轴平行或重合的三角形面积问题 方法指导：直接使用三角形的面积公式：S＝AB·h，其中AB为三角形在坐标轴上（或平行于坐标轴）的一条边，h为边AB上的高，如图所示. 　　 　　 　　 　　 典例1 如图，A是一次函数y＝x的图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（点B在点A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数y＝（x＞0）的图象过点B，C，连接OB.若△OAB的面积为6，求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，交AB于点E.∵ AB⊥x轴， ∴ CD⊥AB.∵ △ABC是等腰直角三角形，∴ BE＝AE＝CE.设AB＝2a（a＞0），则BE＝AE＝CE＝a.设A，则B，C.∵ 点B，C在反比例函数的图象上，∴ x＝（x＋a），解得x＝2a.∵ S△OAB＝AB·DE＝×2a×x＝6， ∴ ax＝6.∴ 2a2＝6，即a2＝3.∴ S△ABC＝AB·CE＝×2a×a＝a2＝3. 典例1图答案 典例2 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A（0，－4），B（2，0），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），过点P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD.求： 典例2图 （1） 一次函数和反比例函数的解析式； 解：（1） 把A（0，－4），B（2，0）代入y＝kx＋b，得解得∴ 一次函数的解析式为y＝2x－4.当x＝3时，y＝2×3－4＝2，∴ C（3，2）.∵ 点C在反比例函数y＝的图象上，∴ m＝3×2＝6.∴ 反比例函数的解析式为y＝. 典例2图 （2） △DPQ面积的最大值. 解：（2） ∵ 点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，∴ P，Q（n，2n－4）.∵ 0＜n＜3，∴ PQ＝－（2n－4）. ∴ S△DPQ＝n＝－n2＋2n＋3＝－（n－1）2＋4.∵ －1＜0，∴ 当n＝1时，S△DPQ最大，最大值为4.∴ △DPQ面积的最大值为4. 典例2图 类型二求三边均不与坐标轴平行或重合的图形面积问题 方法指导：对于三边均不与坐标轴平行或重合的图形面积，一般可采用分割法或补形法解决问题，或者利用平行等积变形求面积，如图所示. 方法1：分割法 图①：S△ABC＝BD·（AF＋CE）； 图②：S△ABC＝BD·（AF＋CE）. 图④：S△ABC＝S△AEC－S△ABE－S△BEC. 方法2：补形法 图③：S△ABC＝S△AFC－S△AEF－S△ABE－S△BEC； 如图⑤，AD∥BC，则S△ABC＝S△BCD. 方法3：等积变形法 典例3图 典例3 如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点，一边OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，连接AF，OF，求△AOF的面积. 解：过点A作AM⊥x轴于点M，则∠AMO＝90°.设OA＝a.在Rt△OAM中，OA＝a，sin∠AOB＝，∴ AM＝OA·sin∠AOB＝a.∴ OM＝＝a.∴ 点A的坐标为.∵ 反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，∴ a·a＝12，解得a＝5或a＝－5（不合题意，舍去）.∴ AM＝4，OM＝3，OA＝5.∵ 四边形AOBC是菱形，∴ OB＝OA＝5.∵ BC∥OA，∴ 易得S△AOF＝S菱形AOBC＝OB·AM＝10. 典例4 如图，曲线l是由函数y＝在第一象限内的图象绕原点O按逆时针方向旋转45°得到的，过点A（－4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M，N（点M在点N左侧），连接OM，ON，求△OMN的面积. 解：∵ A（－4，4），B（2，2），∴ 易得OA⊥OB，OA＝8，OB＝4，∠BOx＝45°.建立如图所示的新的坐标系，OB所在直线为x'轴，OA所在直线为y'轴.在新的坐标系中，曲线l对应的函数解析式为y'＝，A（0，8），B（4，0），∴ 易得直线AB对应的函数解析式为y'＝－2x'＋8.联立解得或∴ M（1，6），N（3，2）.∴ S△OMN＝S△OBM－S△OBN＝×4×6－×4×2＝8. 典例4图答案 类型三已知三角形的面积或两个三角形的面积关系求字母的值或点的坐标 方法指导：对于此类问题，一般设出图象中的点的坐标，再利用分割法或补形法等转化已知三角形的面积构造出相关方程求出字母的值. 典例5 如图，在平面直角坐标系中，点A（m，3n），B（3m，n）在函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作