2024年中考数学二轮复习课件：利用垂线段求最值

　利用垂线段求最值 类型一一动一定求最值 模型解读：如图，直线l外一定点A和直线l上一动点B，求点A，B之间距离的最小值.通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 典例1图 典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC＝15，AC＝20，则线段EF长的最小值为（　A　） A A. 12 B. 6 C. 12.5 D. 25 典例2 如图，AD是等边三角形ABC的高，E是射线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到线段CF，连接EF，DF.若AB＝6，求DF长的最小值. 典例2图 解：连接BF.∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝AC＝BC＝6，∠BAC＝∠ACB＝60°.∵ 线段CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到线段CF，∴ ∠ECF＝60°，CE＝CF.∴ ∠ACB＝∠ECF.∴ 易得∠ACE＝∠BCF.∴ △ACE≌△BCF.∴ ∠EAC＝∠FBC.∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ BD＝CD＝BC＝3，∠FBC＝∠EAC＝∠BAC＝30°.∴ 点F在BC下方与BC成30°角的射线BF上.∴ 当DF⊥BF时，DF的长最小.∵ BD＝3，∴ 此时DF＝BD＝，即DF长的最小值为. 类型二两定一动求最值 模型解读：如图，A，P为直线l上的两点，A为定点，P为动点，B为直线l外的一定点，求kPA＋BP（0＜k＜1）的最小值. 方法：如图，构造∠PAN，使得sin∠PAN＝k，过点P作PE⊥AN于点E，从而利用kPA＝sin∠PAN·PA＝PE，使得kPA＋BP＝PE＋BP，过点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P'，利用“垂线段最短”转化为求BF的长. 典例3 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝4，P为线段BD上的一个动点，求MP＋PB的最小值. 典例3图 解：过点P作PE⊥BC，垂足为E，连接ME.∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝BC＝10，BD⊥AC.∵ AB＝AC＝10，∴ AB＝AC＝BC＝10. ∴ △ABC是等边三角形.∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°.∴ ∠DBC＝∠ABC＝30°.∵ PE⊥BC，即∠BEP＝90°，∴ PE＝PB.∴ MP＋PB＝MP＋PE.∴ 当点M，P，E在同一条直线上，且ME⊥BC时，MP＋PE有最小值，即MP＋PB有最小值，最小值为此时ME的长.∵ AC＝10，AM＝4，∴ CM＝AC－AM＝10－4＝6.当ME⊥BC时，∠MEC＝90°. ∵ ∠ACB＝60°，∴ ME＝CM·sin60°＝6×＝3.∴ MP＋PB的最小值是3. 典例3图 7 类型三两动一定求最值 模型解读：如图①，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PN＋MN的值最小.要使PN＋MN的值最小，设法将PN，MN转化在同一条直线上，如图②，作点P关于OB的对称点P'，作P'M⊥OA于点M，交OB于点N，利用“垂线段最短”求解即可. 典例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，求PC＋PQ的最小值. 解：如图，在AB上取一点Q'，使得AQ'＝AQ，连接PQ'，CQ'.∵ AD是∠BAC的平分线，∴ ∠PAQ'＝∠PAQ.∵ AP＝AP， ∴ △PAQ'≌△PAQ.∴ PQ'＝PQ.∴ PC＋PQ＝PC＋PQ'.∴ 当点C，P，Q'在同一条直线上，且CQ'⊥AB时，PC＋PQ有最小值，最小值为CQ'的长，此时∠BQ'C＝90°.∵ ∠B＝30°，BC＝8，∴ CQ'＝BC＝4.∴ PC＋PQ的最小值为4. 典例4图答案 典例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＋BC＝8，tanA＝，O，D分别是边AB，AC上的动点，求OC＋OD的最小值. 解：如图，作点C关于AB的对称点C'，CC'交AB于点E，过点C'作C'D⊥AC于点D，交AB于点O，则OC＝OC’.易知此时OC＋OD的值最小，即为C'D的长. 在△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，∴ ＝. 设BC＝3x，则AC＝4x.∴ AB＝＝5x. ∵ AB＋BC＝8，∴ 5x＋3x＝8，解得x＝1.∴ BC＝3，AC＝4，AB＝5. 由对称，可知CC'⊥AB，CE＝C'E＝CC’， ∴ S△ABC＝BC·AC＝AB·CE，即×3×4＝×5CE，解得CE＝. ∴ CC'＝2CE＝. ∵ CC'⊥AB，C'D⊥AC，∴ ∠C'EO＝∠ODA＝∠C'DC＝90°. ∵ ∠C'OE＝∠AOD，∴ ∠C'＝∠A. 又∵ ∠C'DC＝∠ACB＝90°