河南省南阳市第八中学校2022-2023学年高二上学期期末质量评估数学试题

2022年秋期高二年级期末质量评估 数学试题 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若直线：与直线：平行，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D．或4 2．随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（    ） A． B. C． D． 3．已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（    ） A． B． C． D. 5．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（    ） A． B． C． D． 7．书包中装有大小相同的2本数学书和2本语文书，若每次从中随机取出一本书且不放回，则在第二次取出的是数学书的条件下，第一次取出的是语文书的概率为（    ） A． B． C． D． 8．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，每位医务人员只能分配到一个社区工作.则不同的分配方法有（　　） A．25种          B．50种         C．150种         D．300种 9．如图，直三棱柱的底面为正三角形，M，N分别为AC，的中点，若，则异面直线与MN所成角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 10．已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．2 11．设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 12．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，体积为，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2，则四棱锥P﹣ABCD的外接球体积的最小值是（　　） A．π B．π C．125π D．π Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在答题卡的横线上.） 13．设随机变量的概率分布为，(为常数，，，，)，则 ______ ． 14．由6位专家组成的团队前往某地进行考察后站成一排拍照留念，已知专家甲和乙不相邻，则不同的站法有_________种. 15．的展开式中的系数为______（用数字作答）. 16．若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17．已知展开式的二项式系数和为512，． (1)求的值； (2)求系数绝对值最大的项. 18．有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件． (1)求这件产品为合格品的概率； (2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？ 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆及点. (1)若直线过点，与圆相交于两点，且，求直线l的方程； (2)圆上是否存在点，使得成立？若存在，求点的个数；若不存在，请说明理由. 20．如图所示，在四棱锥中，底面，底面是菱形，且，，是的中点，是棱上靠近点的一个三等分点. (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值. 21．某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛．比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮．先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分．小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为．假设小明同学每次投篮的结果相互独立． (1)若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p； (2)若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望． 22． 已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝． (1) 若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值； （2）设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平