2024年苏科版中考数学总复习 实数问题中的数学思想方法

实数问题中的数学思想方法 　数学思想方法是数学知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.在学习中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解决数学问题的金钥匙，更能使人受益终身. 一、整体思想　　 整体思想就是在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，探究问题的解决方法，从而使问题得以简捷巧妙地解决. 例1、已知（a+6）+，则 2b2-4b-a 的值为 . 【分析】由（a+6）2 和 都是非负数，根据非负数性质可求出 a 的值和b2- 2b 的值，视 b2-2b 为整体代入，即可求出 2b2-4b-a 的值. 解：∵（a+6）2+ =0，由非负数性质有 a+6=0，b2-2b-3=0， 解得 a=-6，b2-2b= 3，可得 2b2-4b=6，则 2b2-4b-a=6-（-6）=12. 【点评】求得 b2-2b=3 后，也可利用因 式分解或配方法求出 b 的值为3 或-1，再分类代入求值，但较复杂，且易出错.这里发现 b2-2b 与 2b2-4b 有特殊关系，采用整体代入法，十分简捷，由此足见数学思想方法的巨大威力！ 　在解决实数的有关问题时，常常需要 对问题中包含的多种情况进行分类，再按 类思考，寻找出完整的答案. 二、分类思想 例 2 、已知 x、y 为实数，且 y = - +4，则 x -y =_______. 【分析】根据算术平方根的被开方数非负，夹逼出 x 的值，x 的值有两个，所以要分类求解. 解：根据被开方数非负有 x2-9=≧0 和9- x2 ≧0， 即 x2-9≧0 和 x2-9≤0，从而 x2-9=0， 即 x2=9， 解得 x=±3，此时 y=4.当 x=3，y=4 时， x-y=3-4=-1； 当 x=-3，y=4 时，x-y=-3-4= -7；∴x-y=-1 或-7. 【点评】对于算术平方根，被开方数必 须非负才有意义，所以如果一对相反数同时为算术平方根的被开方数，那么被开方数为 0. 三、模型思想 在解决实数的有关问题时，常常先要 构造非负数（如绝对值、偶次方、算术平方 根等）的和为 0 的模型，再利用非负数的性质来解决问题. 例 3 、已 知 |6-3m| +（n -5）2=3m -6 - ，则m-n=_______； 【分析】一个方程两个未知数，且已知 条件中有非负数，因此构造非负数和为 0 的模型来求解. 　 解： 由题意，得 m=3，6-3m≤0，于是原式可化为 3m -6 +（n -5）2 =3m -6 - 即（n-5）2+ =0，∴n= 5，m=3，m-n=-2； 【点评】先对已知等式进行变形，构造 出几个非负数的和为 0 的等式，再利用非 负数的性质即可解决问题. 四、数形结合思想 　利用数轴上点与实数之间的一一对应关系，由点的位置来判定有关代数式值的符号， 再利用得到的结论来解决问题. 例 4 、实 数 a，b，c 在数轴上对应的点如图 1 所示 ， 则下列式子中正确的是（ ）. A. ac＞ bc B. a-b =a-b C. -a＜ -b＜c D. -a-c＞ -b-c 【分析】先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可. 解：由图可知，a＜ b ＜0＜c，∴ac ＜ bc，故 A 选项错误； ∵a＜ b，∴a-b ＜0，∴ a-b =b-a， 故 B 选项错误； ∵ a＜ b＜0，∴ -a＞ -b， 故 C 选 项错误； ∵ -a＞-b，c＞0，∴-a-c＞-b-c， 故 D选 项正确. 综上所述，选 D. 【点评】本题考查的是实数与数轴上点所表示的数之间的关系， 熟知数轴上各点与实数是一一对应的关系是解答此题的关键. 要谨防忽视符号而造成错误.在计算数轴上线段长度时，要注意点的坐标与线段长的互换，谨防“符号病”. 转化是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，在研究和解决实数问题时，经常将复杂问题转化成简单问题，将疑难问题转化成容易问题，将未解决的问题转化成已解决的问题. 五、转化思想 例 5 、1，2，3，… ， 100 这 100 个自然数的算术平方根和立方 根中，无理数的个数有 个. 【分析】本题要求无理数的个数，比较复杂.转化一下思考问题的角度，找无理数的个数困难，可先找有理数的个数，分别 找出 1，2，3，… , 100 这 100 个自然数的算术平方根和立方根中有理数的个数后，则无理数的个数就容易求出了. ∵ 12=1，22=4，32=9，… , 102=100， ∴ 1，2