1.1 二次函数 同步课件-2023—2024学年湘教版数学九年级下册

1.1 二次函数 湘 教 版 数 学 九 年 级 下 册 1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 3.经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系. 4.体会数学与实际生活的密切联系,学会与他人合作交流,培养合作意识. 【教学重点】 二次函数的概念. 【教学难点】 在实际问题中,会写简单变量之间的二次函数关系式教学过程. 教学目标 问题1：函数的定义是什么？ 答：如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数. 思考 ： 一个边长为x的正方体的表面积y为多少？y是x的函数吗？是我们学过的函数吗？ y=6x2，对于x的每一值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数.这个函数不是我们学过的函数. 问题2：我们学过哪些函数？ 答：一次函数 y=kx+b (k≠0)；反比例函数 这种函数叫什么？这节课我们一起来学习吧！ 新课导入 3 1.学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园，已知篱笆墙的总长度为 100 m，设与围墙相邻的每一篱笆墙的长度都为 x（m），求矩形植物园的面积 S（m2）与 x 之间函数关系式. 即 思考 对于x的每一个取值，S都有唯一确定的值与它对应，即S是x的函数. x m x m （ 100-2x ）m ① 探究新知 2.某型号的电脑两年前的销售为 6000 元，现降价销售，若每年的平均降价率为 x，求现在售价y （元）与平均降价率 x 之间的函数关系. 即 观察上面所列的函数表达式有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ ② 探究新知 ① ② 观察左边的函数表达式①②有什么共同点？它们与一次函数的表达式有什么不同？ 都是关于自变量的二次多项式 探究新知 定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y=ax2+bx+c ( a， b， c 是常数， a ≠ 0 ). 其中 x 是自变量， a， b， c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项． 归纳总结 特别解读 二次函数的特殊形式： (1)只含二次项，即：y=ax2(b=0，c=0)； (2)不含一次项，即：y=ax2+c(b=0，c≠0)； (3)不含常数项，即：y=ax2+bx(b ≠ 0，c=0). 归纳总结 2. 确定二次函数的“三要素” (1)含有自变量的代数式必须是整式； (2)化简后自变量的最高次数是 2； (3)二次项系数不等于0 . “三要素”要牢记，这是确定二次函数的关键 . 归纳总结 1、指出下列函数中哪些是二次函数. （1） （2） （3） （4） （5） √ √ 课堂练习 判定一个函数是否为二次函数的思路: 1.将函数化为一般形式. 2.自变量的最高次数是 2 次. 3.若二次项系数中有字母, 二次项系数不能为 0. 要点归纳 【例1】 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由题可知 解得 （2）由题可知 解得 m=3. 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出m=3或-3的错误答案，需要引起同学们的重视 例题讲解 【例2】如图，一块矩形木板，长为120cm、宽为80cm，在木板4个角上各截去边长为x(cm)的正方形，求余下面积S(cm2)与x之间的函数表达式. 注意：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.即要满足题意。 分析：本问题中的数量关系是： 木板余下面积 = 矩形面积 - 截去面积. 解：木板余下面积 S 与截去正方形边长 x 有如下函数关系： S = 120×80 - 4×x2 = - 4x2 + 9 600 ， 0 ＜ x ≤ 40 . 例题讲解 建立二次函数模型的一般步骤 (1)审清题意：找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量) ，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言 . (2)找相等关系 ：分析常量和变量之间的关系，列出等式 . 归纳总结 (3)列二次函数表达式： 设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并整理成二次函数的一般形式 . (4) 确定函数自变量的取值范围： 二次函数的自变量在一般情况下是没有条件限制的，即自变量可以取一切实数，但是在实际问题中，变量都有一定的实际意义，会受到一定的条件限制，所