6.4.3余弦定理第一课时导学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 第1课时 余弦定理导学案 广东高州中学 夏孙明 【学习目标】 1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用； 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。 【学习过程】 一、实际应用问题引入 某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是BC=5km，AC=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角，最后通过计算求出山脚的长度AB。 A B C 思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？ 二、化为我们数学问题，并探究证明A B C 在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C，求：c（即AB） 1.归纳：c2＝ ；a2＝ ；b2＝ 上面三条公式，我们称作为________________。 2.文字语言：三角形中任何一边的 ，等于其他两边 减去这两边与它们夹角的 A B C 3.除了用这种方法，还有其他种方法吗？ 4.解三角形概念：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的_______________求________________的过程叫做解三角形. 5.想一想：余弦定理能够解决什么问题？ 推论：cos A＝ ；cos B＝ ；cos C＝ ． 【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1) 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　) (2) 在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　) (3)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　) (4)在△ABC中，已知三个元素可求其余三个元素．(　　) (5) 在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) 三、题型突破 1. 已知两边及一角解三角形 点拨：必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 例1 在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a和角B、C的值。 对应解决应用问题： 某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出C到山脚A、B的距离，分别是BC=5km，AC=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角，最后通过计算求出山脚的长度AB。A B C 2. 已知三边(三边关系)解三角形 已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角形内角和定理求出第三个角.,利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在0，π上是单调的.当余弦值为正时，角为锐角；当余弦值为负时，角为钝角. 例2 已知△ABC中，a=, b=2, c=＋1，求△ABC的各内角度数． 【跟踪训练】2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° 题型三 判断三角形的形状 点拨：利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 （1）化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． （2）化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． 例3 在△ABC中,若a=4、b=5、c=6, （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状 【跟踪训练】3.在△ABC中，若a2>b2+c2，则△ABC的形状为（　） Ａ、钝角三角形　　　　　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形　　　　　　Ｄ、不能确定 知识提练： 拓展：(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则b＝(　　) A. B．2 C．2 D．3 三、课堂小结 这节课你的收获是什么？ 四、课后作业 【当堂达标】 1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为(　 　) A. B. C. D.或 2.在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为(　 　) A．4 B．8 C．4或8 D．无解 3.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　) A．90°　 B．60° C．120° D．150