6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3 余弦定理 新人教A版数学必修2第六章《平面向量》 广东高州中学 夏孙明 一、实际应用问题 A B C 5km 8km 　　某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出A到山脚A、B的距离，分别是BC=5km，AC=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角， 最后通过计算求出山脚的长度AB。 思考：你能求出图中山脚的长度AB吗？ 二、化为数学问题 已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。 例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C 求：c（即AB） A C B b a c=? 直角三角形 ，向量，坐标 解决长度和角度问题的手段有什么？ C B A c a b 探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为∠C， 求边c. ﹚ 设 由向量减法的三角形法则得 三、证明问题 向量法 C B A c a b ﹚ ﹚ 由向量减法的三角形法则得 探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. 设 同理： 请用类比思想推出另外两边公式 C B A c a b ﹚ 由向量减法的三角形法则得 探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c. 设 同理： 请用类比思想推出另外两边公式 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 你能用文字说明吗？ C B A a b c 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 归纳 除了向量法证明，你能用其他方法证明它吗? A B C a b c D 当角C为锐角时 几何法 b A a c C B D 当角C为钝角时 A B C c b a 余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。 当C=90˚时，有 证明 在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A, 作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosA A B C c b a 同理有： 当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后 自己完成。 D 证明 b A a c C B 证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： x y 坐标法 证明 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 余弦定理能够解决什么问题？ a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC 方程思想：四个量，知三求一 b2+c2 - a2 2bc cosA= a2+c2 - b2 2ac cosB= a2+b2 - c2 2ab cosC= C B A a b c 1.已知两边和它们的夹角，求另一边 想一想 变形 2.已知三边，求角 3.判断三角形形状 题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形 C A B a b c 解决实际应用问题 B C A 5km 8km 　　某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置C，量出A到山脚A、B的距离，分别是BC=5km，AC=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出C对山脚AB的张角， 最后通过计算求出山脚的长度AB。 例2.在△ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得 题型二、已知三角函数的三边解三角形 C A B a b c 例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状 题型三、判断三角形的形状 解： 由余弦定理得： 变式训练： 在△ABC中，若　　　　　　，则△ABC的形状 为（　） Ａ、钝角三角形　　　　　　Ｂ、直角三角形 Ｃ、锐角三角形　　　　　　Ｄ、不能确定 A 推论： C B A b a c 知识提炼： 提炼：设a是最长的边，则 △ABC是钝角三角形 △ABC是锐角三角形 △ABC是直角三角形 拓展： 课堂小结 这节课你的收获是什么？ 三角形中的边角关系 余弦定理 定理内容 定理证明 定理应用 (2)已知三边， 求三个角 (1)已知两边和 其夹角，求