专题04 基本不等式及其应用-2024年新高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题04 基本不等式及其应用 【知识点梳理】 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【方法技巧与总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 【典型例题】 例1．（2024·北京大兴·高三统考期末）已知且，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 例3．（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．12 D．13 例5．（2024·甘肃武威·高三统考期末）若，且，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．4 D．8 例6．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知正实数m，n满足，则的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 例8．（2024·山西运城·高三校考期末）某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（    ） A．10 B．15 C．30 D．45 例9．（2024·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知，向量，则的最大值为 . 例10．（2024·全国·高三专题练习）函数在上的最大值为 ． 例11．（2024·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最小值为 ． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·全国·高三专题练习）若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高三专题练习）已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东·高三学业考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2024·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）若，，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 5．（2024·陕西西安·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高三专题练习）下列函数中，最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·陕西商洛·统考模拟预测）设某批产品的产量为（单位：万件），总成本（单位：万元），销售单价（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润销售收入-总成本）最大时的产量为（    ） A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件 8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则m，n不可能满足的关系是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·全国·高三专题练习）已知，，且，则ab的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 二、多选题 10