专题02 分布列与其数字特征的应用（五大类型）-2024年新高考数学解答题核心考点分解训练与突破（新高考二轮复习）

02分布列与其数字特征的应用 一、必备知识： 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． 5. 独立重复试验 一般地，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验． 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝pk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)． 6.二项分布 定义：若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为P，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝pkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，于是得到X的分布列： X 0 1 … k … n P p0qn p1qn－1 … pkqn－k … pnq0 由于表中第二行恰好是二项式展开式 (q＋p)n＝p0qn＋p1qn－1＋…＋pkqn－k＋…＋pnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作． 二项分布的期望、方差：若，则． 7.两点分布 X 0 1 P 1－p p 这样的分布列叫做两点分布列． 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称p＝P(X＝1)为成功概率． 两点分布的期望与方差：． 8.超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … k … m P … … 超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则. 9.正态分布 正态曲线: 我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图 象为正态密度曲线. 正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 正态分布的三个常用数据： (1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0．6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0．9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0．9974. 正态分布的均值与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 二、题组 题组一：分布列相关计算 经典例题： 例1．设随机变量X的分布列如下： X 1 2 3 4 P p 则p为（    ）． A． B． C． D． 例2．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下： 1 2 3 4 5 6 0.2