7.5 正态分布 讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5　正态分布 课标要求　1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量；通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.2.理解正态曲线的特点，明确正态分布中参数μ，σ的意义及其对正态曲线形状的影响. 素养要求　通过本节的学习，使学生了解正态分布的特征，能够利用正态曲线分析实际问题，发展数学抽象、数学建模及数据分析素养. 知识点梳理 (1)f(x)＝e－，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)若随机变量X的概率密度函数为f(x)＝e－，x∈R，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态曲线的特点： ①正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处达到峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴. (4)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. (5)服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 在实际应用中，通常认为X只取区间[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 温馨提醒　(1)正态曲线关于直线x＝μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置)，具有中间高、两边低的特点； (2)正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形面积为1； (3)σ决定正态曲线的“胖瘦”：σ越大，说明标准差越大，数据的集中程度越弱，所以曲线越“胖”；σ越小，说明标准差越小，数据的集中程度越强，所以曲线越“瘦”. 3.做一做　(1)已知X～N(0，1)，则X在区间(－∞，－2)内取值的概率约为(　　) A.0.954 B.0.046 C.0.977 D.0.023 答案　D 解析　由于X～N(0，1)，且P(－2≤X≤2)＝0.954 5， 又P(X>2)＝P(X<－2)， ∴P(X<－2)＝(1－0.954 5)≈0.023. (2)如果ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ＞3)＝P(ξ＜1)成立，则μ＝________. 答案　2 解析　因为ξ～N(μ，σ2)， 故正态密度函数关于直线x＝μ对称， 又P(ξ＜1)＝P(ξ＞3)， 从而μ＝＝2，即μ的值为2. 4.思考辨析　正确的在后面的括号内画“√”，错误的画“×”. (1)正态密度函数解析式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差.(×) 提示　函数中σ的意义为样本的标准差. (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.(√) (3)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的.(×) 提示　正态曲线与x轴围成的面积为定值1. (4)正态曲线关于y轴对称.(×) 提示　正态曲线关于x＝μ对称. 典例分析 题型一　正态曲线及性质 例1 (1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝________，方差σ2＝________. (2)(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 答案　(1)20　2　(2)BCD 解析　(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是. 所以μ＝20，＝，解得σ＝， 因此总体的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2. (2)由题图可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”. 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙. 思维升华　1.利用正态曲线的特点求参数μ，σ (1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. (2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 2.“σ”决定数据的集中程度的强弱，σ越大，数据集中程度越弱，正态曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，数据越离散. 训练1 若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式. 解　由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0， 又该函数的最大值是， 所以＝，解得σ＝4. 故所求正态密度函数的解析式为 f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞). 题型二　利用正态分布的对称性求概率 例2 设ξ～N(1，22)，试求： (1)P(－1