微专题04 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题（四大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题04 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心. （2）外心：为的外心. （3）垂心：为的垂心. （4）重心：为的重心. 【典型例题】 题型一：重心定理 【例1】（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】（2024·全国·高一专题练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（    ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 题型二：内心定理 【例2】（2024·全国·高一专题练习）在△ABC中，，若O为内心，且满足，则x+y的最大值为 ． 【变式2-1】（2024·江苏南通·高一如皋市第一中学期末）已知点P为的内心，，若，则 ． 【变式2-2】（2024·广西柳州·高一统考期末）设为的内心，，，，则 题型三：外心定理 【例3】（2024·吉林长春·高一东北师大附中校考阶段练习）已知点O是△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则 ． 【变式3-1】（2024·安徽六安·高一六安市裕安区新安中学校考期末）已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定经过的 ．(从“重心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写） 【变式3-2】（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为（ ） A．1 B．2 C． D． 题型四：垂心定理 【例4】（2024·江苏泰州·高一统考期末）已知的垂心为点，面积为15，且，则 ；若，则 . 【变式4-1】（2024·湖北黄冈·高一校联考期末）若为的垂心，，则＝ ， ． 【变式4-2】（2024·山西·高一校联考阶段练习）已知为的垂心（三角形的三条高线的交点），若，则 . 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·全国·高一专题练习）在直角三角形中，，的重心、外心、垂心、内心分别为，，，，若（其中），当取最大值时，（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考阶段练习）若O是△ABC所在平面上一定点，H，N，Q在△ABC所在平面内，动点P满足， ，则直线AP一定经过的____心，点H满足，则H是的____心，点N满足，则N是的____心，点Q满足，则Q是的____心，下列选项正确的是（    ） A．外心，内心，重心，垂心 B．内心，外心，重心，垂心 C．内心，外心，垂心，重心 D．外心，重心，垂心，内心 二、多选题 3．（2024·河南郑州·高一校联考期末）点为△所在平面内一点，则（   ） A．若，则点为△的重心 B．若，则点为△的垂心 C．若．则点为△的垂心 D．在中，设，那么动点的轨迹必通过△的外心 4．（2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边BC的中点 B．若，则点是边BC的三等分点 C．若，则点是边的重心 D．若，且，则的面积是面积的 5．（2024·山东枣庄·高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·安徽池州·高一统考期末）已知△ABC的重心为，边的中点分别为，则下列说法