微专题03 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（四大题型）-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题03 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：利用奔驰定理解决四心问题 题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 题型四：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 【例1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·重庆·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】（多选题）（2024·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 题型二：利用奔驰定理解决四心问题 【例2】（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 【变式2-1】（2024·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（2024·湖南邵阳·高一统考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（    ） A． B． C． D． 题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点） 【例3】（2024·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考阶段练习）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-2】（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期末）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 题型四：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点） 【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【变式4-1】（2024·新疆·高二阶段练习）如图，设P，Q为∆ABC内的两点，且，，则∆ABP的面积与∆ABQ的面积之比为（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·广东广州·高一统考期末）如图所示，、为内的两点，且， ＝，则的面积与的面积之比为 A． B． C． D． 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西宜春·高一统考期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽宿州·高一阶段练习）已知是所在平面内一点，且，则与的面积之比为　　 A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（    ） A． B．3 C． D． 5．