22.1.1 二次函数 讲义 2023—2024学年人教版数学九年级上册

2023-2024学年人教版数学九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 一、教学目标 【知识与技能】 1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 【过程与方法】 通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征. 【情感态度与价值观】 在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念. 【教学难点】 1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系； 2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件. 五、课前准备 课件 六、教学过程 （一）导入新课 如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？（出示课件2） 教师问：上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？ （二）探索新知 探究一 二次函数的概念 出示课件4：教师问：正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为 . 学生答：y=6x2①. 出示课件5：教师问：多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？ 如果多边形有n条边,那么它有 个顶点,从一个顶点出发,可以作 条对角线. 学生答：n；（n-3） 教师问：多边形的对角线总数为 ，即 . 学生答：d=n(n-3)；d=n2-n② 教师强调：②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数. 出示课件6：教师问：某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为 ，即 . 学生答：20(1+x)；20(1+x)2；y=20（1+x）2；y=20x2+40x+20③ 教师强调：③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数. 出示课件7：教师问：函数①②③有什么共同点? 学生以小组形式讨论，并由每组代表总结. 出示课件8：教师问：认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数． 函数解析式 自变量 函数 y=6x2 d=n2-n y=20x2+40x+20 学生答：x；y；n；d；x；y 教师问：这些函数有什么共同点？ 学生答：这些函数自变量的最高次项都是二次的！ 出示课件9：教师归纳：二次函数的定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数，叫做二次函数. 教师强调： （1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式. （2）a,b,c为常数，且a≠0. （3）等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. （4）x的取值范围是任意实数. 出示课件10：教师归纳：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项. 出示课件11：教师归纳：二次函数的形式： 二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0). 二次函数的特殊形式: 当b＝0时，y＝ax2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c＝0时，y＝ax2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b＝0，c＝0时，y＝ax2.（只含有二次项） 出示课件12：例1 下列函数中是二次函数的有 . 学生自主思考后，学生口答：①⑤⑥ 出示课件13：师生共同完善认知：运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤： （1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是函数（因变量）的形式； （2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 出示课件14：下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1；⑵； (3) s=3-2t²； ⑷； (5)y=(x+3)²-x²；(6) v