2024学年冲刺中考 数学提优几何模型十一常见相似模型(三) 讲义

冲刺中考 中考提优几何模型十一常见相似模型（三） 模型5;圆中常见相似 模型6：旋转型相似 几何专题十一：常见相似模型（三） 模型5：圆中常见相似 图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△PAC∽△PDB； 图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△PAC∽△PDB； 图③中，通过作辅助线构造，易得△PAC∽△PCB。 典型例题 【例1】已知⊙O中，AB、CD为弦，交于P，求证： 【例2】已知⊙O中，PT切⊙O于T，割线PB交⊙O于A，求证：PT 2＝PA·PB 【例3】如图，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C两点. 求证：PA·PB=PD·PC. 作业训练 1.如图，在⊙O中的两条弦 AB与 CD相交于 E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么 CE＝_________cm. 2.如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB 的距离是________cm。 3.若PA 为⊙O的切线，A为切点，PBC割线交⊙O于 B、C，若BC＝20，PA= ，则PC 的长为________。 4.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且 AB=， AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ． 5.已知⊙O的半径为，AB=6，△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于D，则的值等于 . 6.如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为A，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB=，求： （1）BN的长； （2）⊙O直径AD的长. 7.如图所示，⊙O为△ABC的外接圆，已知∠C=45°，BC=5，⊙O的直径为13，求弦AC的长. 8.如图，已知半径为 5 cm 的⊙O 是△ABC 的外接圆，CD是AB 边上的高，AE是⊙O的直径．若AC＝6 cm，BC＝9 cm．求CD的长． 9.如图，PA、PC 切⊙O于A、C，PDB为割线。求证：AD·BC＝CD·AB. 10.如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，切点为A，过点B的割线BMN交AD的延长线于点C，且BM=MN=NC，若AB=，求： （3）BN的长； （4）⊙O直径AD的长. 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径． 12.如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长． 13.如图，直线与⊙相切于点为⊙的直径，是直径右侧半圆上的一个动点(不与点、重合)，过点作，垂足为，连接、.设, . 求: (1) 与相似吗?为什么? (2) 求与的函数关系式; (3) 当为何值时，取得最大值，最大值为多少? 14.已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H. （1） 求证：AC⊥BH. （2） 若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长. 15.如图所示，已知⊙O为直角三角形ABC的外接圆，∠A的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，垂足为点E. （1）求证DE与⊙O相切； （2）若⊙O的直径是12，AD=10，求DF的长. 模型6：旋转型相似 如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到图②. 结论：△ABD∽△ACE. 典型例题 【例1】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的 对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB=∠GAD；②△AFC∽△AGD；③2AE²=AH·AC；④．其中正确的个数为（ 　 ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】如图，正方形ABCD的边长为8，线段CE绕着点C逆时针方向旋转，且CE=3，连接BE，以BE为边作正方形BEFG，M为AB边的中点，当线段FM的长最小时，tan∠ECB= . 作业训练 1.如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边CD上一动点，连接AE，将线段AE绕点E逆时针旋转90°到线段EF，连接AF，BF，AF交边BC于点G，连接EG，当AF+BF取最小值时，线段EG的长为（  ） A．8 B．7 C．9 D． 2.如图，在△ABC中，AB＜AC，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点D在BC边上，DE交AC于点F．下列