6.2.3 向量的数乘运算 讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.3　向量的数乘运算 【知识点梳理】 一、向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 二、向量共线定理 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【典例分析】 例1 (1)3(6a＋b)－9＝________； (2)若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________. 训练1 (1)化简的结果是(　　) A.2a－b B.2b－a C.b－a D.a－b (2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________. 例2 设a，b是不共线的两个非零向量. (1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. 训练2 设两个非零向量a与b不共线. (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 例3 如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a，b表示和. 训练3 如图所示，已知＝，用，表示. 【课后训练】 1.(多选)下列运算正确的是(　　) A.(－3)·2a＝－6a B.2(a＋b)－(2b－a)＝3a C.(a＋2b)－(2b＋a)＝0 D.2(3a－b)＝6a－2b 2.(多选)下列说法正确的是(　　) A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ∈R且λ≠0，a≠0) B.若a∥b，则b＝λa(λ∈R) C.若|b|＝2|a|，则b＝±2a D.若b＝±2a，则|b|＝2|a| 3.在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝2，＝＋λ，则实数λ等于(　　) A. B. C. D. 4.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋) ＝×2＝. 5.已知P，A，B，C是平面内四点，且＋＋＝，则下列向量一定共线的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 6.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝______. 7.如图正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近C的三等分点，则＝________(用向量，表示). 8.已知O，A，B是平面内任意不共线的三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝________. 9.计算： (1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)； (2)－； (3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c). 10.在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，求(用a，b表示). 11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 12.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝________，＝________. 13.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.求证：M，N，C三点共线. 14.已知点O为△ABC内一点，＋2＋3＝0，则＝________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.3　向量的数乘运算 【知识点梳理】 一、向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向