精品解析：江苏省南通市如皋市2024届高三下学期2月诊断测试数学试题

如皋市2024届高三2月诊断测试 数学试题 2024.2 注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.试卷共4页，共19小题.满分150分.考试用时120分钟.命题：胡佳磊 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知，是方程的两个复根，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 是双曲线上一点，点分别是双曲线左右焦点，若，则（ ） A. 9或1 B. 1 C. 9 D. 9或2 3. 设A，B是一个随机试验中的两个事件，则（ ） A. B. C. D. 若，则 4. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（ ） A. 2004 B. 2005 C. 2025 D. 2026 5. 已知平面向量不共线，且，，记与 夹角是，则最大时， A. B. C. D. 6. 已知三个函数，，零点依次为、、，则 A. B. C. D. 7. 等比数列中，首项，，则（ ）. A. B. C. D. 8. 设，，且，则（ ） A. －1 B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，设，当取大于的一组实数、、、、时、所得的值依次为另一组实数、、、、，则（ ） A. 两组数据的中位数相同 B. 两组数据的极差相同 C. 两组数据的方差相同 D. 两组数据的均值相同 10. 已知是正方体的中心，过点的直线与该正方体的表面交于、两点，下列叙述正确的有（ ） A. 点、到正方体个表面的距离分别为、，则为定值 B. 线段在正方体个表面的投影长度为，则为定值 C. 正方体个顶点到直线的距离分别为，则为定值 D. 直线与正方体条棱所成的夹角的，则为定值 11. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，，当时，有，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，则集合A中满足条件：“”的元素个数为__________. 13. 若曲线和曲线有三个不同的交点，则的取值范围是_________. 14. 小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有n层（，），设第1层的“环境满意度”为1，且第k层（，）比第层的“环境满意度”多出；又已知小王有“恐高症”，设第1层的“高层恐惧度”为1，且第k层（，）比第层的“高层恐惧度”高出倍.在上述条件下，若第k层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第k层“购买满意度”为，且，则小王最想买第______层住宅. （参考公式及数据：，，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 知函数，其中. （1）若，求函数的极值 （2）是否存在实数a，使得函数在内单调？若存在，求出a取值范围；若不存在，请说明理由； 16. 如图，圆柱上，下底面圆的圆心分别为，，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱的三条侧棱均为圆柱的母线，且，点在轴上运动． （1）证明：不论在何处，总有； （2）当为的中点时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为． （1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求的分布列和数学期望． 18. 已知椭圆与椭圆有相同的离心率，椭圆焦点在y轴上且经过点. （1）求椭圆的标准方程： （2）设A为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于干P，Q，直线AP､AQ与椭圆的另一个交点分别为点M和N，