专题01平面向量的概念及线性运算（4知识点+4题型）-2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题1：平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算 常考题型 向量三角不等式 向量共线定理与性质 向量的线性运算 向量的基本概念 题型一：平面向量的概念 题型二：平面向量共线的判定与性质 题型三：平面向量的线性运算 题型四：平面向量的三角不等式应用 知识点一：向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量. 注意点：①向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移； ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素； ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． （2）向量的表示法 ①有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． ②向量的表示方法： Ⅰ字母表示法：如等. Ⅱ几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注意点：用有向线段来表示向量注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。 （3）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，叫做向量的模，记作．　 （4）零向量：长度为0的向量，记作；其方向是任意的． （5）单位向量：长度等于1个单位的向量． （6）平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行． （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （8）相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二：向量的线性运算 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 (1)(2)当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 知识点三：向量共线定理与性质 （1） 向量共线定理：如果且，则； （2） 向量共线性质：且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论： ①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； ②向量，，中三个向量的终点，，共线存在实数，使得，且 知识点四：向量三角不等式 三角形不等式：. 证明：①非零向量、不共线时，的方向与、的方向都不同；则； ②非零向量、共线时，设， 与同向时，的方向与、相同且，的方向与相同且， 与异向时，的方向与相同且，的方向与相同且； ③、至少有一个时. 题型一：平面向量的概念 解题思路：主要是对平面向量、向量表示方法、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量的理解。 例1．下列说法正确的是（    ） A．质量、速度、位移、加速度、功都是向量． B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小． C．两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点相同． D．向量的模可以比较大小． 例2．下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（多选）下列命题正确的是（　　） A．若都是单位向量，则. B．“”是“”的必要不充分条件 C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线 D．若，则 例4．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 变式训练 5．下列命题正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 6．关于向量，，下列命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 7．（多选）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 8．（多选）下列说法中,错误的有（    ） A．单位向量都相等 B．模相等的两个平行向量相等 C．若且,同向,则 D．,若,,则 题型二：平面向量共线的判定与性质 解题思路：向量共线定理：如果且，则；向量共线性质：且，则一定存在唯一一个实数，使． 推论：①三点，，共线，共线（功能：证明三点共线）； 例1．下列命题是真命题的是 . (填序号) ①若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上. 例2．已知向量，