6.3.1平面向量基本定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3.1 平面向量基本定理 人教2019A版必修 第二册 1.理解平面向量基本定理及其意义,了解向量基底的含义. 2.掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 学习目标 问题1 如图,设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,a是这一平面内与e1,e2都不共线的向量.请你将向量a按e1,e2的方向分解. 问题2 上述问题中的分解方法是否唯一?为什么? 1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的 向量a, 实数 1, 2,使a= 1e1+ 2e2. 2.基底:若e1,e2 ,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 注意点: (1)同一平面内的基底有无数个,只要两向量不共线即可. (2)当基底确定后,任一向量的表示法是唯一的,即 1, 2是唯一确定的. 不共线 任一 有且只有一对 不共线 5 例1 (多选)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,能作为基底的是 A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1+e2 √ 选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2), ∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,∴不能作为基底, 选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底. √ √ 6 小结: 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否不共线. 此外,一个平面的基底一旦确定, 那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一表示. 7 跟踪训练1 (多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点,则下列向量可作为这个平行四边形所在平面内所有向量的一个基底的是 √ √ 8 由基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成平面内所有向量的一个基底,故AC满足题意. 9 10 因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点, 11 a+b 2a+c 12 13 15 因为点E是BD的中点, 17 18 小结: (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决. 19 20 21 1.知识清单: (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 提示 =e1,= 1e1,=e2,= 2e2,=a=+= 1e1+ 2e2. 提示 分解方法唯一.如果a还可以表示成 1e1+ 2e2的形式,那么 1e1+ 2e2= 1e1+ 2e2,可得( 1- 1)e1+( 2- 2)e2=0,由此式可推出 1- 1, 2- 2全为0(假设 1- 1, 2- 2不全为0,不妨假设 1- 1≠0,则e1= -e2.由此可得e1,e2共线,这与已知e1,e2不共线矛盾),即 1= 1, 2= 2,因此,分解方法是唯一的. A.与 B.与 C.与 D.与 与不共线; =-,则与共线; 与不共线; =-,则与共线. 例2 如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用{a,b}为基底表示,. 所以===b. =++ =-+ =- b-a+b=b-a. 跟踪训练2 如图,在正方形ABCD中,设=a,=b,=c,则以{a,b}为基底时,可表示为 ,以{a,c}为基底时,可表示为 . 以{a,b}为基底时,=+=a+b; 以{a,c}为基底时,将平移,使点B与点A重合, 再由向量加法的三角形法则或平行四边形法则得=2a+c. 所以==(c-a), 所以=(+)=+=-a+(c-a)=c-a. 例3 如图,在 ABC中,点D是AC的中点, 点E是BD的中点,设=a,=c. (1)用a,c表示向量; 因为=-=c-a,点D是AC的中点, 又=a+c,所以 =, 所以=,所以AF∶CF=4∶1. (2)若点F在AC上,且=a+c, 求AF∶CF. 设= (0< <1), 所以=+=+ =a+ (c-a)=(1- )a+ c. 跟踪训练3 如图,在 ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,若= + ,其中 , ∈R,则 + = . 即 = =,∴ + =. 设=a,=b, 则=+=+=a+b, =+=+=a+b, 又∵=a+b,∴=(+), $$