第六章 平行四边形压轴题（4个类型40题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第六章 平行四边形压轴题 内容导航 类型一、平行四边形的性质 类型二、平行四边形的性质与判定的综合问题 类型三、三角形的中位线 类型四、多边形的内角和 类型一、平行四边形的性质 1．如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，则下列结论：平分；平分；；．其中正确结论的有（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，取对角线上两点，使，，点在上，若，则 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，，为轴上一动点，连接并延长至点，使，取轴负半轴上一点，使得，以，为边作． （）点的坐标为 ． （）设点坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示），连接，则长度的取值范围为 ． 4．在中，是对角线，，是内一点，连接，，， (1)求证： (2)当时，，，，求的面积． (3)在（1）的条件下，当平分，，，，求的长． 5．如图，平行四边形的面积为12，．点在边上（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，连接．    (1)的长度______． (2)点到直线的距离是______． (3)设点到直线的距离为，求的最小值． (4)当点落在平行四边形的边上时，直接写出的长度． 6．如图所示，在平面直角坐标系中，，，以，为邻边做平行四边形，其中，，满足． (1)直接写出点坐标　　　　； (2)如图2，线段的垂直平分线交轴于点，为的中点，试判断的大小，并说明理由； (3)如图3，点，为轴上的一点，，求点的坐标． 7．已知中，，点E是延长线上一点，连接，在的右侧作，射线交射线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点P，连接，若，，求的长． 8．已知，平行四边形中，在边上，连接，．    (1)如图1，求证：． (2)如图2，过作于，交于，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若为中点，，平行四边形面积为36，求长． 9．【问题初探】 （1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，和是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论________________；（写出一对即可） 上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．    【类比分析】 （2）如下图，已知四边形中，，，是的平分线，且．将线段绕点E顺时针旋转得到线段．当时，连接，试判断线段和线段的数量关系，并说明理由；    ①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段和线段的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题； ②小玲同学从条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件，则，再通过“手拉手”模型，合理添加辅助线，构造与全等的三角形来解决问题． 请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如下图，中，当时，点D、E为、上的点，，，若，，求线段的长．    10．如图，和都是等腰直角三角形，，连接，以，为邻边作，连接，． (1)如图1，当点D落在上时，与的数量关系是______，位置关系是______．    图1 (2)如图2，当点D在的内部时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．    图2 (3)如图3，连接，若，，当时，直接写出的长．    图3 类型二、平行四边形的性质与判定的综合问题 11．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形” 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 理解：如图，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 应用：如图，在矩形中，，，点E在上，点F在上，，与交于点O． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）连接，若和是“友好三角形”，求四边形的面积． 探究：在中，，，点D在线段上，连接，和是“友好三角形”，将沿所在直线翻折，得到，若与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积． 12．定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，试求的长度． 13．已知等边和等腰，，．    (1)如图1，点在上，点在上，是的中点，连接，，则线段与之间的数量关系为 　　　　； (2)如图2，点在内部，点在外部，是的中点，连接、，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；