专题4 第3讲 统计、成对数据的统计分析 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第3讲　统计、成对数据的统计分析 命|题|分|析 　　高考对本讲内容的考查往往以实际问题为背景,考查随机抽样与用样本估计总体、经验回归方程的求解与运用、独立性检验问题,常与概率综合考查。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样和分层随机抽样。这两种抽样方法都是等概率抽样,体现了抽样的公平性,但又各有其特点和适用范围。 2.统计中的四个数字特征 (1)众数:样本数据中,出现次数最多的那个数据。 (2)中位数:样本数据中,将数据按大小顺序排列,位于最中间的数据。如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数。 (3)平均数:样本数据的算术平均数,即=(x1+x2+…+xn)。 (4)方差与标准差。 s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2], s=。 3.直方图的两个结论 (1)小长方形的面积=组距×=频率。 (2)各小长方形的面积之和等于1。 4.百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值。 5.回归分析与独立性检验 (1)经验回归直线=x+经过样本点的中心(,),若x取某一个值代入经验回归方程=x+中,可求出y的预测值。 (2)独立性检验。 对于取值分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量X和Y,其样本频数列联表是: X Y 合计 y1 y2 x1 a b a+b x2 c d c+d 合计 a+c b+d n 　　则χ2=(其中n=a+b+c+d为样本容量)。 [真题体验] 1.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有(　AC　) A.样本x1,x2,…,xn的标准差 B.样本x1,x2,…,xn的中位数 C.样本x1,x2,…,xn的极差 D.样本x1,x2,…,xn的平均数 解析　由标准差的定义可知,标准差能度量数据的离散程度;由中位数的定义可知,中位数能度量数据的集中趋势;由极差的定义可知,极差能度量数据的离散程度;由平均数的定义可知,平均数能度量数据的集中趋势,故选AC。 2.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　CD　) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 解析　对于A,新、旧样本数据的样本平均数的差为c,且c≠0,故A错误;对于B,新、旧样本数据的样本中位数的差为c,且c≠0,故B错误;对于C,易知两组样本数据的样本标准差相同,故C正确;对于D,设旧样本数据中的最大数据为a,最小数据为b,则旧样本数据的样本极差为a-b,新样本数据的样本极差为(a+c)-(b+c)=a-b,所以两组样本数据的样本极差相同,故D正确。故选CD。 3.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图: (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率; (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%。从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1)。 解　(1)平均年龄=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+ 85×0.002)×10=(0.005+0.03+0.3+0.595+1.035+1.1+1.105+0.45+0.17)×10=47.9(岁)。 (2)设A={一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)},则P(A)=1-P()=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)×10=1-0.11=0.89。 (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)},C={任选一人患这种疾病},则由条件概率公式,得P(C|B)====0.001 437 5≈0.001 4。即此人患这种疾病的概率约为0.001 4。 热点聚焦　考向探究 考向一　统计图表与数字特征 【例1】　(1)(2023·重庆市二模)如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图,则由直