专题4 第2讲 随机变量及其分布 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第2讲　随机变量及其分布 命|题|分|析 　　随机变量及其分布主要以解答题形式出现。一般以现实生活中的真实情境为背景,考查离散型随机变量的分布列、期望与方差。题目阅读量大,与实际生活密切联系,有时也与函数、数列等知识综合命题。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.数学期望与方差 (1)称D(X)=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,可以度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差。 (2)均值与方差的性质: ①E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数); ②D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数)。 2.三种特殊分布 (1)二项分布。 在n重伯努利试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),那么在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=pk·(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p)。 (2)超几何分布。 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},此时称随机变量X服从超几何分布。超几何分布的模型是不放回抽样。 (3)正态分布。 ①正态分布的定义及表示: 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a≤X≤b)=φμ,σ(x)dx(即x=a,x=b,正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积),则称随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2)。 ②正态分布的三个常用数据: P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 3.常见方法结论 (1)如果X~N(μ,σ2),那么E(X)=μ,D(X)=σ2。 (2)如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p)。 (3)如果X服从超几何分布H(N,M,n),那么E(X)=。 (4)如果X~N(μ,σ2),一定要注意准确应用3σ原则。 [真题体验] 1.(2022·新高考Ⅱ卷)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)= 0.14 。  解析　由题意可知P(X>2)=0.5,所以P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36=0.14。 2.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6。从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=  ,E(ξ)=  。  解析　抽取卡片上数字的最小值为2,可分为两种情况:第一种,数字为2的卡片抽1张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取2张;第二种,数字为2的卡片抽2张,再从数字为3,4,5,6的卡片中抽取1张。所以P(ξ=2)===。由题意,得P(ξ=1)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=。 热点聚焦　考向探究 考向一　分布列、均值、方差的性质及应用 【例1】　(1)(多选)设离散型随机变量X的分布列如下表: X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.2 n 0.3 若离散型随机变量Y=-3X+1,且E(X)=3,则(　BC　) A.m=0.1 B.n=0.1 C.E(Y)=-8 D.D(Y)=-7.8 解析　由E(X)=1×m+2×0.1+3×0.2+4×n+5×0.3=3,得m+4n=0.7,又由m+0.1+0.2+n+0.3=1,得m+n=0.4,从而得m=0.3,n=0.1,故A选项错误,B选项正确;E(Y)=-3E(X)+1=-8,故C选项正确;因为D(X)=0.3×(1-3)2+0.1×(2-3)2+0.1×(4-3)2+0.3×(5-3)2=2.6,所以D(Y)=(-3)2D(X)=23.4,故D选项错误。 (2)(2023·浙江第三次联考)设0<p<1,随机变量ξ的分布列为 ξ 0 p 1 P 1-p 则当p在区间(0,1)内递增时(　D　) A.D(ξ)减小 B.D(ξ)增大 C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小 解析　由分布列可得,E(ξ)=0×(1-p)+p×+1×=+,则E(ξ2)=02×(1-p)+p2×+12×=+,D(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=+-=-p4-p2+p=(-p4-p2+2p)。令f(p)=-p4-p2+2p,p∈(0,1),则f'(p)=-4p3-2p+2,记g(p)=f'(p),则g'(p)=-12p2-2。易知g'(p)<0恒成立,所