专题4 第1讲 概率 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

专题四　概率与统计 第1讲　概率 命|题|分|析 　　概率模型多考查独立事件、条件概率、n重伯努利试验、互斥事件及对立事件等,而全概率公式、二项分布与正态分布则是新高考的热点,多以客观题形式呈现。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.古典概型的计算公式 P(A)=。 2.相互独立事件与概率 若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B)。 3.条件概率 (1)条件概率的定义:设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 (2)条件概率的性质: ①0≤P(B|A)≤1; ②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A); ③若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B)。 4.全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai),我们称上面的公式为全概率公式。 [真题体验] 1.(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　D　) A. B. C. D. 解析　从2,3,4,5,6,7,8中随机取2个不同的数有=21(种)结果,其中这2个数互质的结果有(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8),共14种,所以所求概率为=。故选D。 2.(2021·全国甲卷)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　C　) A. B. C. D. 解析　(将4个1和2个0视为完全不同的元素):4个1分别设为1A,1B,1C,1D,2个0分别设为0A,0B,将4个1和2个0随机排成一行有种排法,将1A,1B,1C,1D排成一行有种排法,再将0A,0B插空有种排法,所以2个0不相邻的概率P==。 3.(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0。记该棋手连胜两盘的概率为p,则(　D　) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大 解析　设第二盘与甲比赛,则p甲=2[p2p1(1-p3)+(1-p2)p1p3]=2p1(p2+p3-2p2p3)。设第二盘与乙比赛,则p乙=2[p1p2(1-p3)+(1-p1)p2p3]=2p2(p1+p3-2p1p3)。设第二盘与丙比赛,则p丙=2[p1p3(1-p2)+(1-p1)p3p2]=2p3(p1+p2-2p1p2)。p甲-p乙=2p3(p1-p2)<0,p甲-p丙=2p2(p1-p3)<0,p乙-p丙=2p1(p2-p3)<0,故p丙>p乙>p甲。故选D。 4.(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为  。  解析　从5名同学中随机选3名参加社区服务工作,共有=10种选法,甲、乙都入选有=3种选法。根据古典概型的概率计算公式,甲、乙都入选的概率P=。 5.(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为  。  解析　从正方体的8个顶点中任选4个,所有的取法有=70种,4个点共面的取法共有12种(表面有6个正方形,对角线可构成6个长方形,所以共有12种),所以4个点在同一个平面的概率为=。 热点聚焦　考向探究 考向一　随机事件的概率 【例1】　神话传说中, 上古时代伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的观察,画出了“八卦”,而龙马身上的图案就叫做“河图”(如图)。河图把一到十这十个数字分成五组,其口诀为:一六共宗,为水居北;二七同道,为火居南;三八为朋,为木居东;四九为友,为金居西;五十同途,为土居中。现从这十个数中随机抽取六个数,则能成为三组的概率是(　C　) A. B. C. D. 解析　从一到十这十个数中随机抽取六个数,其样本空间包含的样本点的总数n=,能成为三组包含的样本点个数m=,则能成为三组的概率P===。故选C。 　　(1)解决古典概型问题的关键是求样本点的个数,其常用方法有:枚举法、树状图法,利用排列组合知识计算。 (2)对于较复杂的事件所包含的样本点数的计算,要利用分类讨论思想、正难则反的思想方法求解。 【变式训练】　(2023·江西师范大学附属中学考试)中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山:东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山。它们分别坐落于东、西、南、北、