专题3 第3讲 空间向量与立体几何 (专题微讲Word)-【赢在微点·考前顶层设计】2024新高考数学大二轮专题复习（Word版）

第3讲　空间向量与立体几何 命|题|分|析 　　1.以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,常与空间线面位置关系的证明相结合,热点为空间角的求解,常以解答题的形式进行考查。高考注重利用向量方法解决空间角问题,但也可利用几何法来求解。 2.空间距离也是高考题中的常见题型,多以解答题的形式出现。 考点整合　真题感悟 [知识提炼] 　　1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),则 (1)线面平行:l//α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0。 (2)线面垂直:l⊥α⇔a//μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2。 (3)面面平行:α//β⇔μ//v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3。 (4)面面垂直:α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0。 2.空间向量与空间角 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),平面α,β的法向量分别为μ=(a3,b3,c3),v=(a4,b4,c4)。 (1)异面直线所成的角:设l,m的夹角为θ,则cos θ==; (2)直线与平面所成的角:设直线l与平面α的夹角为θ,则sin θ=|cos<a,μ>|=; (3)平面与平面所成的角:设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos <μ,v>|=。 3.空间距离 (1)点线距离: 如图,向量在直线l上的投影向量为,则点P到直线l的距离为PQ==。(其中u是直线l的单位方向向量) (2)点面距离: 如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点。则点P到平面α的距离PQ===。 [真题体验] 1.(2023·全国甲卷)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1。 (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值。 解　(1)证明:如图,过A1作A1D⊥CC1,垂足为D,因为A1C⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以A1C⊥BC,又∠ACB=90°,所以AC⊥BC,因为A1C,AC⊂平面ACC1A1,且A1C∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1,因为A1D⊂平面ACC1A1,所以BC⊥A1D,又CC1,BC⊂平面BCC1B1,且CC1∩BC=C,所以A1D⊥平面BCC1B1,所以A1D=1。由已知条件易证△CA1C1是直角三角形,又CC1=AA1=2,A1D=1,所以D为CC1的中点,又A1D⊥CC1,所以A1C=A1C1,又在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC=A1C1,所以A1C=AC。 (2)如图,连接A1B,由(1)易证A1B=A1B1,故取BB1的中点F,连接A1F,因为AA1与BB1的距离为2,所以A1F=2,又A1D=1且A1C=AC,所以A1C=A1C1=AC=,AB=A1B1=,BC=。建立空间直角坐标系Cxyz如图所示,则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),B1(-,,),C1(-,0,),所以=(0,,0),=(-,0,),=(-2,,),设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,则y=0,z=1,所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,0,1)。设AB1与平面BCC1B1所成角为θ,则sin θ=|cos<n,>|==。所以AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为。 2.(2022·新高考Ⅰ卷)如图,直三棱柱ABC⁃A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为2。 (1)求A到平面A1BC的距离; (2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A⁃BD⁃C的正弦值。 解　(1)设点A到平面A1BC的距离为h。因为===,所以··h=。又因为=2,所以h=。所以点A到平面A1BC的距离为。 (2)如图,取A1B的中点E,连接AE。因为AA1=AB,所以AE⊥A1B。因为平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,AE⊂平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,所以AE=h=,则AA1=AB=2。因为AE⊥平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AE⊥BC。又AA1⊥平面ABC,所以A1A⊥BC,又AE∩A1A=A,所以BC⊥平面ABB1A1。因为AB⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AB。由=S△ABC·A1A=AB·BC·A1A=×2×BC×2=4,解得BC=2。以B为原点,分别以BC,BA,BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空