专题28.2 解直角三角形及其应用（八大考点）-2023-2024学年九年级数学下册考点剖析及精准练习（人教版）

专题28.2解直角三角形及其应用 1.理解直角三角形中五个元素的关系，能用锐角三角函数解直角三角形； 2.了解仰角、俯角、方向角等名词的概念，并能解决实际问题； 3.能用锐角三角函数相关知识解决一些简单的实际问题 一、解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 设在中，所对的边分别为，则有： ①三边之间的关系： (勾股定理)；②锐角之间的关系：. ③边角之间的关系： ④，为斜边上的高. 注意：（1）直角三角形中有一个元素为定值(直角为)，是已知值. （2）这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系). （3）对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解. 二、解直角三角形的类型和解法 已知条件 图形 解法 已知一直角边和一个锐角对边 邻边 斜边 A C B b 已知斜边和一个锐角 已知两直角边 已知斜边和一条直角边 三、解直角三角形的应用 解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： （1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； （2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； （3）根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. （4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 1.坡度坡角 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式. 2.仰角俯角问题 仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 3.方位角问题 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，的方位角分别为是. （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线的方向角分别表示北偏东，南偏东，南偏西，北偏西.特别如：东南方向指的是南偏东，东北方向指的是北偏东，西南方向指的是南偏西，西北方向指的是北偏西 注意：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 考点01直接解直角三角形 例1．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则 ． 变式1-1．如图，在中，，，，垂足为D，，则长为 ． 变式1-2．在中，是高，．求． 变式1-3．（1）在中，，，，求和的长； （2）在中，，，，解这个直角三角形． 考点02需设元解直角三角形 例2．如图，在菱形中，，，则的值是（    ）    A．2 B． C． D．3 变式2-1．如图，在，，D为边上的一点，将沿翻折，得到．连接，，若， ，则到边上的距离为 ．    变式2-2．在中， ，，，则 ． 变式2-3．郑北大桥横跨亚洲最大铁路编组站，该桥为独塔双索面钢混结合梁斜拉桥，是国内同类型桥中桥面最宽的结合梁斜拉桥．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量郑北大桥的某组斜拉索最高点到桥面的距离作为一项课题活动，进行了探究，具体过程如下： 【方案设计】如图，分别在A，B两点放置测角仪，测得和的度数，并量出的距离，即可解决问题： 【数据收集】米，测角仪和的高度为1.5米； 【问题解决】求郑北大桥某组斜拉索最高点C到桥面的距离．（结果保留整数．参考数据：，，） 考点03解非直角三角形 例3．在锐角中，，，则底边的长为（    ） A．8 B． C． D． 变式3-1．在中，若，，，则 ． 变式3-2．如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 变式3-3．如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.    (1)若，求的长度； (2)若，求． 考点04构造直角三角形求不规则图形 例4．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（    ）    A．48 B．50 C．5