1.3 勾股定理的几何应用讲义 讲义 2023--2024学年北师大版八年级数学上册

勾股定理的几何应用 一、勾股定理与旋转相关 在平面内，将图形绕一个定点O沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转。这个定点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。 【注意】旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角. 旋转前提：共顶点、等线段 【小技巧】 （1）图形中岀现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合. （2）图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转60°角后 与另一边重合. （3）图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转90°角后与另一 边重合. 1.如图1，点是等边内一点，已知，，，求的度数． 分析：要直接求的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内． 解：如图2，作使，连接，，则是等边三角形． 　　， 是等边三角形 ，　　 ，　　 在中，，，， 　　 （2）如图3，在中，，，点是内一点，，，，求的度数． （3）拓展应用．如图（4），中，，，，是内部的任意一点，连接，，，则的最小值为　 　． 二、勾股定理与翻折变换 ①翻折前后，两个图形全等；②对应线段、对应角相等；③对应点连线被折痕垂直平分. 2.如图，中，，，，点是边上一点．若沿将翻折，点刚好落在边上点处，则　 　． 3.在矩形纸片中，，． （1） 将矩形纸片沿折叠，使点落在点处（如图①， 设与相交于点，求的长； （2）将矩形纸片如图②折叠，使点与点重合，折痕为．求的长． 三、勾股定理与对称变换 （一）题型一：线段和最大最小问题 异侧 同侧 4.如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，，则的最小值是　 　． 5.如图，，，在上，，在上，，，则的最小值是　　． （二）题型二：线段差最大最小问题 ① PA-PB最小 ② |PA-PB| 最大同侧 异侧 异侧 异侧 同侧 6.如图，两点、在直线外的同侧，到的距离，到的距离，，点在直线上运动，则的最大值等于　 　． 7.如图，正方形中，4，是上的一点，且1，是线段上的一动点，求+与的最小值与最大值． 8.如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）出发2秒后，求的长； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：（1）如图2，作使，连接，，则是等边三角形． ， 是等边三角形 ，， ， ， 在中，，，， 故答案为：，，，90． （2）解：，， 把绕点逆时针旋转得到，如图， ，， ，， 在中，，，， ，，为直角三角形，， ． （3）解：如图4中，将绕着点逆时针旋转，得到，连接，， ，，，，， 是等边三角形 当点，点，点，点共线时，有最小值 ， 故答案为． 2．【解答】解：在中，由勾股定理可知， ． 由折叠的性质得：，，． 设，则，． 在中，． ． ， ， ； 故答案为：． 3．【解答】解：（1）设，则， 为折痕，， 又，， ， 中，， 解得；． （2）过点作垂直于， 解：（先算出的长度，并设为，因为折叠，所以， 又因为矩形所以利用勾股定理得，， ，解得， ，， ， 在和中， ， ，， 所以， ，， ． 4．【解答】解：如图，过点作于，延长到，使，连接，交于，此时的值最小， 连接， ，，，， ，，， ，，， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．【解答】解：作关于的对称点，作关于的对称点， 连接，即为的最小值． 根据轴对称的定义可知：，， 为等边三角形，为等边三角形， ， 在△中，． 故答案为． 6．【解答】解：延长交于点， ，， 当点运动到点时，最大， ，，， 过点作， 则，， ， 的最大值等于10， 故答案为：10． 7． 【解答】解：当时，即点的垂直平分线与的交点， ， 因为，当点运动到点时取等号，此时， 所以的最小值为0，最大值为3． 8．【解答】解：（1）当时，则，， ， ， 如图1， 在中，． （2）由题意可知，， ， ， 当为等腰三角形时，则有， 即，解得， 出发秒后能形成等腰三角形； （3）①当时，如图2所示， 则， ，． ， ，， ，， ，解得：； ②当时，如图3所示， ， 解得：． ③当时，如图4所示， 过点作于点， 则， ， 在中， ，， 解得：或（不合题意，舍去） 综上所述：当为5.5秒或6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$