精品解析：江苏省南京市南京外国语学校2024届高三下学期2月开学期初考试数学试题

南京外国语学校 2023-2024学年度高三第二学期2月开学期初考试 数学试题（卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 平面向量，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. D. 3. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 4. 如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（ ） A. 2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减 B. 从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量 C. 2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆 D. 2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差 5. 如图，正四面体的棱与平面平行，且正四面体内的所有点在平面内的射影构成图形面积的最小值是，则该正四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 6. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器．2022年5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”III型浮空艇长55米，高19米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”III型浮空艇的体积约为（ ） （参考数据：，，，） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 8. 已知正实数a使得函数有且只有三个不同零点，若，则下列的关系式中，正确的是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分． 9. 已知离散型随机变量服从二项分布，其中，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 时， C. 时，随着的增大而增大 D. 时，随着的增大而减小 10. 设定义在R上的函数与的导函数分别为和．若，，且为奇函数，则（ ）． A. ， B. C D. 11. 如图，在矩形中，点B，C，D与点，，分别是线段与的四等分点，且．若把矩形卷成以为母线的圆柱的侧面，使线段，重合，则（ ）． A. 直线与异面 B. 直线与异面 C. 直线与平面垂直 D. 直线与平面垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知 的图象在处的切线与与函数的图象也相切，则该切线的斜率 __________. 13. 如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 __________． 14. 已知球的表面积为，三棱锥的顶点都在该球面上，则三棱锥体积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆，圆与x轴的交点恰为的焦点，且上的点到焦点距离的最大值为. （1）求的标准方程； （2）不过原点的动直线l与交于两点，平面上一点满足，连接BD交于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若，试判断直线l与圆M的位置关系，并说明理由. 16. 一地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为，其中，并得到了各采样点金属锂的含量，得到一组数据，经计算得到如下统计量的值： ，，，，，其中． （1）利用相关系数判断与哪一个更适宜作为y关于x的回归模型； （2）建立y关于x的回归方程． 参考公式：回归方程中斜率、截距的最小二乘估计公式、相关系数公式分别为，，； 参考数据：． 17. 已知函数. （1）讨论的极值点个数； （2）若有两个极值点，直线过点 （i）证明：； （ii）证明：. 18. 如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足. （1）证明：直线平面； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 设为整数．有穷数列的各项均为正整数，其项数为m（）．若满足如下两个性质，则称为数列：①，且；② （1）若为数列，且，求m； （2）若为数列，求的所有可能值； （3）若对任意的数列，均有，求d的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京外国语学校