18.1.1 第2课时 平行四边形对角线的性质2023-2024学年人教版八年级数学下册

第2课时　平行四边形对角线的性质 1.通过推理证明理解平行四边形对角线的性质. 2.能运用平行四边形对角线的性质解决相关几何问题. ◎重点:平行四边形对角线互相平分. ◎难点:平行四边形性质的综合运用. 老师:同学们,你们知道家里的电视机屏幕有多大吗? 学生:32英寸,42英寸,60英寸… 老师:英寸是个长度单位,我们只需要了解一下,1英寸是2.54厘米.事实上,42英寸电视机,指的就是电视机对角线的长度.多边形都有对角线,平行四边形也不例外,这节课,我们就来学习平行四边形对角线的性质. 预习导学 平行四边形对角线的性质 阅读课本本课时所有内容,解决下列问题. 1.旧知回顾:平行四边形对角　 　,对边　 　且　 　.  相等 平行 相等 2.思考:(1)若已知平行四边形ABCD,则AD　　BC,且AD 　　BC,△AOD与△COB有什么关系呢?请简要说明理由.  = ∥ 全等.如图,由AD∥BC可知∠ADO=∠CBO,又因为∠AOD=∠BOC,AD=BC,所以△AOD≌△COB(AAS). (2)若已知平行四边形ABCD,则AB　CD,且AB　 　 CD,△AOB与△COD有什么关系呢?  (3)由(1)与(2)可知AO　 　OC,OB　 　OD.  = ∥ 全等. = = 3.揭示概念:平行四边形的对角线互相　 　.  学法指导　现在,我们知道平行四边形对角相等,对边相等,对角线相互平分三条性质.平行四边形的定义,对边相互平行,也可以作为性质使用.在解决相关的几何问题时,若已知一个四边形为平行四边形,我们常常需要综合考虑和运用这些性质. 平分 　4.讨论:课本“例2”中,为了计算平行四边形各边的长度,都运用了平行四边形的哪些性质? 运用对边相等得到线段BC、CD的长,运用对角线相互平分得到线段OA的长. 1.平行四边形的两条对角线一定 ( )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.互相平分 B.互相垂直 C.相等 D.以上都不对 A 2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若△AOB的周长为15,AB=6,则对角线AC+BD=　　.  18 1.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是 ( ) A.10<m<12 B.2<m<22 C.1<m<11 D.5<m<6 C 合作探究 2.如图,已知▱ABCD的周长为60 cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长多8 cm,求这个平行四边形各边的长. 解:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,AO=OC. ∵AB+CD+AD+BC=60, ∴AB+BC=30. ∵AO+AB+OB-(OB+BC+OC)=8 cm, ∴AB-BC=8 cm, ∴AB=CD=19 cm,BC=AD=11 cm. 方法归纳交流　(1)平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半;(2)平行四边形被对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形周长之差等于邻边之差. 相关的证明 3.已知:如图,在▱ABCD中,AC、BD交于点O,过O点作EF交AB、CD于E、F,那么OE、OF是否相等?请判断并说明理由. 解:相等. 理由:在▱ABCD中, ∵AC、BD交于点O, ∴AO=OC. ∵AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO, ∴△AEO≌△CFO(AAS),∴OE=OF. 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若▱ABCD的周长为18,则△ABE的周长为( )　　　　 　　　　　 　　　　　 A.8 B.9 C.10 D.18 B 　2.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=1,BC=5,则对角线BD的长为　 　.  2 3.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,连接AE,CF.求证:AE=CF. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC,OD=OB,∴∠ABE=∠CDF. ∵E,F分别为OB,OD的中点,∴BE=DF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF. $$