第02讲 利用导数研究函数的单调性（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第02讲 利用导数研究函数的单调性 【人教A版2019】 ·模块一 利用导数研究单调性（一） ·模块二 利用导数研究单调性（二） ·模块三 课后作业 模块一 利用导数研究单调性（一） 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．利用导数判断不含参函数单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求出函数f(x)的导数； (3)在定义域内求解不等式f'(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间； (4)在定义域内求解不等式f'(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间. 注：单调区间不以”并集”出现. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．构造函数研究单调性 (1)关系式为“加”型 ①f'(x)+f(x)≥0：构造[exf(x)]'=ex[f'(x)+f(x)]； ②xf'(x)+f(x)≥0：构造[xf(x)]'=xf'(x)+f(x)； ③xf'(x)+nf(x)≥0：构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf'(x)+nf(x)]. (注意对x的符号进行讨论) (2)关系式为“减”型 (1)f'(x)-f(x)≥0：构造； (2)xf'(x)-f(x)≥0：构造； (3)xf'(x)-nf(x)≥0：构造. 【考点1 利用导数判断（不含参）函数的单调性】 【例1.1】（2023下·天津和平·高二天津二十中校考阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A．, B．, C．, D．, 【例1.2】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）若函数，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023上·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考期末）函数​的单调递增区间是（    ） A．​ B．​和​ C．​ D．​ 【变式1.2】（2023上·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【考点2 利用二阶导数判断函数单调性】 【例2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.当时，求函数的单调区间； 【例2.2】（2023上·山东淄博·高三统考期中）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调增区间． 【变式2.1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，其中e是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)讨论函数的单调性． 【变式2.2】（2023下·天津和平·高二校考阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)证明：当时，． 【考点3 构造函数研究单调性】 【例3.1】（2023上·江苏无锡·高三校考阶段练习）设函数，在上的导函数存在，且恒成立，则当时，下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023下·安徽滁州·高二校联考阶段练习）设在上的导函数均存在，，且，当时，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023·全国·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，，当时，（是的导函数），则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ） A． B． C． D． 模块二 利用导数研究单调性（二） 1．含参函数的分类讨论