第01讲 导数的运算与几何意义（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第01讲 导数的运算与几何意义 【人教A版2019】 ·模块一 导数的运算 ·模块二 导数的几何意义 ·模块三 课后作业 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 【考点1 基本初等函数的导数】 【例1.1】（2023下·浙江嘉兴·高二校联考期中）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023下·陕西渭南·高二校考期中）已知，，，…，，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023下·天津·高二统考期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 复合函数的求导方法】 【例2.1】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）下列求导数运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023下·安徽合肥·高二合肥一中校考期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023上·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）函数、的定义域为，的导函数的定义域为，若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【考点3 与导数运算有关的新定义问题】 【例3.1】（2023下·江西·高二校联考期中）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.函数的图象在处的曲率为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023下·海南儋州·高二校考阶段练习）给出定义：设是函数的导函数， 是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，已知函数的拐点是，则点（   ） A．在直线上 B．在直线上 C．在直线上 D．在直线上 【变式3.1】（2023下·北京房山·高二统考期末）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2014 B．2013 C． D．1007 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线 P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就 是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-). 2．切线方程的求法 (1)已知切点时求切线方程的方法： ①求出函数y=f(x)在x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率； ②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'(x0)(x-x0). (2)切点未知时的解题通法： ①设出切点坐标T(x0,f(x0))(不出现y0)； ②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)； ③将已知条件代入②中的切线