8.6.3平面与平面垂直 （第2课时）平面与平面垂直的性质（教学设计）--【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

8.6.3平面与平面垂直 （第2课时） 平面与平面垂直的性质 教学设计 1、 课时教学内容 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习平面与平面垂直的性质及其应用。 课本从两垂直平面内的一个平面内找一条直线，考虑该直线与两面的交线，另一个平面之间的关系，引入平面与平面垂直的性质定理。空间中平面与平面之间的位置关系中,垂直是一种非常重要的位置关系,它不仅应用较多,而且是空间问题平面化的典范空间中平面与平面垂直的性质定理具备以下两个特点: (1) 它是立体几何中最难、最高级”的定理 (2)它往往又是一个复杂问题的开端,即先由面面垂直转化为线面垂直,否则无法解决问题因此,面面垂直的性质定理是立体几何中最重要的定理教学目标。 2、 课时教学目标 1.掌握平面与平面垂直的性质定理； 2.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题； 3.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。 3、 教学重点、难点 1.教学重点：平面与平面垂直的性质定理及其应用； 2.教学难点：用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 如图，在长方体中，若, 则里的直线都和垂直吗？ 问题1：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面呢？ 问题2：一个平面内满足什么条件的直线才垂直于另一个平面呢？ 【预设答案】不一定垂直；垂直交线. 【设计意图】通过这一实例，让学生感受平面与平面垂直的性质定理. 下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论． 如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系． 探究 如图8. 6-29，设，，则内任意一条直线与有什么位置关系？相应地，与有什么位置关系？为什么？ 显然，与平行或相交．当 时，；当与相交时，与也相交． 环节二 观察分析，感知概念 特别地，当时，如图8.6-30，设与的交点为，过点在内作直线，则直线，所成的角就是二面角的平面角．由知，，又因为， 和是内的两条相交直线，所以． 由此我们得到平面与平面垂直的性质定理： 定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直． 这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题． 例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可． 环节三 抽象概括，形成概念 探究 设平面平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系? 我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直．因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合． 如图8.6-31，设，过点在平面内作直线，根据平面与平面垂直的性质定理，．因为过一点有且只有一条直线与平面垂直，所以直线与直线重合，因此． 【设计意图】通过数学证明得到平面与平面垂直的性质定理，培养学生逻辑推理的能力. 环节四 辨析理解，深化概念 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论? 下面的例子就是其中的一些结果． 例9 如图8.6-32，已知平面平面，直线，，判断与的位置关系． 解：在内作垂直于与交线的直线． ， ． 又， ． 又，，． 即直线与平面平行． 【设计意图】通过探究平面与平面垂直的性质有关的结论，加深学生对平面与平面垂直的性质定理的理解. 环节五 概念应用，巩固内化 例10 如图8.6-33，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证： BC⊥平面PAB． 分析：要证明BC⊥平面PAB，需证明BC垂直于平面PAB内的两条相交直线．由已知条件易得BC⊥PA．再利用平面PAB⊥平面PBC，过点A作PB的垂线AE，由两个平面垂直的性质可得BC⊥AE． 证明：如图8.6-34，过点作，垂足为． 平面平面，平面平面，平面． 平面，．平面，平面，． 又，平面． 从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化． 环节六 归纳总结，反思提升 1.平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直； 2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直