第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+4种题型+强化训练）-2023-2024学年八年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+4种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点2．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点3．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点4．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识复习 一．二次根式的性质与化简（共19小题） 1．（2023秋•东平县期末）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•衡阳期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果是　　 A． B． C．1 D． 3．（2023秋•曲阳县期末）若，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•雨花区期末）计算的结果为　　 A． B． C． D．2 5．（2023春•蓬莱区期末）化简二次根式得　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•秀英区校级期中）若，则实数在数轴上的对应点一定在　　 A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点左侧 D．原点或原点右侧 7．（2023春•兰陵县期末）实数，，在数轴上的对应点如图所示，化简的结果是　　 A． B． C． D． 8．（2024•沙坪坝区校级开学）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示，请化简　　． 9．（2024•渝中区校级开学）若，且，则的值是 　　． 10．（2023秋•方城县期末）　　． 11．（2024•垫江县开学）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：+|b﹣2|+|b﹣a|＝　 　． 12．（2023秋•隆回县期末）当时，化简：　　． 13．（2023•平潭县校级开学）二次根式的值等于 　　． 14．（2023•冷水滩区校级开学）如图，已知A、B、C三点分别对应数轴上的数a、b、c，那么＝　 　． 15．（2023春•金乡县期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 16．（2023秋•怀化期末）先阅读下列解答过程： 形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即， 所以． 请根据材料解答下列问题： （1）填空：　　； （2）化简：（请写出计算过程）； （3）化简：． 17．刘劦思在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生文辞，远裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式