18.2.3 正方形-2023-2024学年八年级数学下学期重点题型方法与技巧（人教版）

第十八章 平行四边形 18.2.3 正方形 1 正方形的性质 （1）正方形是最特殊的平行四边形，其性质具有菱形和矩形的性质. 四条边相等，四个内角是直角，对角线相等且互相垂直. （2）推广：下图中有很多等腰直角三角形，如，，，等. 2 正方形的判定 正方形的判定思路：具有矩形性质的菱形或具有菱形的矩形. （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）有一组邻边相等的矩形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形. 【题型1】 正方形的性质 【典题1】 如图，在正方形ABCD中，M是边BC上一点，E是CD的中点，AE平分∠DAM，下列结论：①ME⊥AE，②ME平分∠AMC，③∠DAE＝30°，④AM＝AD+CM，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典题2】如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习】 1. (★)正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　) A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四个角都相等 D．对角线互相垂直 2. (★)如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连接EC，则∠BEC的度数为(　　) A．60° B．45° C．75° D．67.5° 3. (★★)如图，平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为(　　) A．﹣2 B． C． D． 4. (★★)如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边CD、BC上一点，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G．若∠AED＝50°，则∠AGD的度数为(　　) A．50° B．55° C．60° D．65° 5. (★★)如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝4，CE＝2，H是AF的中点，那么CH的长为(　　) A． B． C． D． 6. (★★)已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　． 7. (★★★)如图，P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，连接EF．有下列结论： ①CP＝EF；②CP⊥EF；③△CPD一定是等腰三角形； ④∠PFE＝∠BCP；⑤PD＝AE． 其中，正确结论的序号是 。 【题型2】 根据条件判定正方形 【典题1】 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AC＝BD；②AC⊥BD；③AC与BD互相平分；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD；⑥正方形ABCD，则下列推理成立的是(　　) A．①④⇒⑥ B．②④⇒⑥ C．①②⇒⑥ D．①③⇒⑤ 【巩固练习】 1. (★)下列说法错误的是(　　) A．有一个角为直角的菱形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 2. (★)下面的说法中不正确的是(　　) A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 3. (★)下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为(　　) ①AC⊥BD ②∠BAD＝90° ③AB＝BC ④AC＝BD． A．①③ B．②③ C．②④ D．①②③ 4. (★★)四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是(　　) A．OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD B．AB∥CD，AC＝BD C．AD∥BC，∠A＝∠C D．OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC 5. (★★)如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是　 ． 【题型3】 正方形的性质和判定 【典题1】 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，以AD，CD为边作平行四边形ADCF，连接BF，BF分别与AD，AC相交于点E，G． (1)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并说明理由． (2)在(1)条件下，若AB＝6，求EF的长． 【巩固练习】 1. (★★)如图，已知菱形ABCD，E、F是对角线BD